xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path算法）
字数 2262 2025-10-31 12:28:54

xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path算法）

题目描述
给定一个带权有向图，其中每条边除了有容量限制（表示最大可流通量）外，还有一个单位流量的费用。目标是在满足流量从源点 \(s\) 到汇点 \(t\) 最大的前提下，使总费用最小。该问题称为最小费用最大流问题（Minimum Cost Maximum Flow, MCMF）。例如，在物流配送中，边容量代表运输能力，费用代表单位运输成本，问题等价于在最大化运输量的同时最小化总成本。

解题过程

1. 问题建模

  • 图结构：有向图 \(G=(V,E)\)，每条边 \(e=(u,v)\) 有容量 \(c(e) \geq 0\) 和单位费用 \(w(e)\)（流量每增加1单位需付出的成本）。
  • 目标：找到流函数 \(f: E \to \mathbb{R}^+\)，满足：
    1. 容量约束：\(0 \leq f(e) \leq c(e)\)。
    2. 流量守恒：除源点 \(s\) 和汇点 \(t\) 外，每个顶点入流等于出流。
    3. 最大流：从 \(s\) 到 \(t\) 的流量 \(F\) 最大化。
    4. 最小费用：总费用 \(\sum_{e \in E} f(e) \cdot w(e)\) 在最大流条件下最小。

2. 核心思想：残量网络与负环消除

最小费用流问题常用Successive Shortest Path（SSP）算法求解，其核心是：

  • 残量网络：基于当前流 \(f\) 构建残量图 \(G_f\)：
    • 对于原边 \(e=(u,v)\)，若 \(f(e) < c(e)\)，则在 \(G_f\) 中保留正向边，容量为 \(c(e)-f(e)\)，费用为 \(w(e)\)。
    • 对于反向边 \(e'=(v,u)\)，容量为 \(f(e)\)，费用为 \(-w(e)\)（用于回流抵消费用）。
  • 关键性质：若残量网络中无负费用环，则当前流是最小费用流（对于当前流量值）。
  • SSP策略：每次在残量网络中找一条从 \(s\) 到 \(t\) 的最短路径（按费用），并沿该路径推送尽可能多的流量，逐步增加总流量并保持费用最小。

3. 算法步骤详解

步骤1：初始化

  • 初始流 \(f(e) = 0\)，总流量 \(F=0\)，总费用 \(Cost=0\)。
  • 构建初始残量网络 \(G_f\)（与原图相同，反向边容量为0）。

步骤2：检查可达性与可行性

  • 若 \(s\) 到 \(t\) 在残量网络中不可达，算法终止（已达最大流）。
  • 注意：若存在负费用环，需先用Bellman-Ford检测并消除（SSP假设初始无负环）。

步骤3：寻找最短路径

  • 在残量网络 \(G_f\) 中，使用Bellman-Ford算法（或允许负权的SPFA）计算从 \(s\) 到所有顶点的最短路径（按费用之和）。
  • 记录路径的前驱节点和最短距离 \(d(v)\)。

步骤4：推送流量

  • 若存在 \(s \to t\) 的路径，则沿该路径推送流量：
    • 路径可推送的流量 \(\Delta = \min\{ \text{路径上边的剩余容量} \}\)。
    • 更新路径上每条边 \(e\)：
      • 正向边：流量增加 \(\Delta\)，剩余容量减少 \(\Delta\)。
      • 反向边：容量增加 \(\Delta\)（允许后续回流）。
    • 更新总流量 \(F \leftarrow F + \Delta\)，总费用 \(Cost \leftarrow Cost + \Delta \cdot d(t)\)（因为 \(d(t)\) 是路径费用和）。

步骤5：更新残量网络

  • 根据新流更新 \(G_f\) 中边的容量和反向边。

步骤6：重复步骤2–5

  • 直到无法找到 \(s \to t\) 的路径（达到最大流），输出 \(F\) 和 \(Cost\)。

4. 正确性保证

  • 归纳法：每次增加的路径是当前残量网络中费用最小的，保证在流量逐次增加时，每一步的费用增量最小。
  • 无负环假设：算法过程中保持残量网络无负环，避免陷入无限循环或非最优解。

5. 复杂度分析

  • 每次迭代使用Bellman-Ford求最短路径，复杂度 \(O(|V||E|)\)。
  • 最多需增广 \(F_{\max}\) 次（每次至少增加1单位流量），总复杂度 \(O(F_{\max} \cdot |V||E|)\)。
  • 若容量为整数，\(F_{\max}\) 受最大流值限制，但对于大容量可能较慢。实际中常用SPFA或Dijkstra（通过势函数处理负权）优化。

6. 实例演示（简例）

考虑一个简单网络：

  • 顶点：\(s, a, t\)，边：
    • \(s \to a\)：容量=2，费用=1
    • \(a \to t\)：容量=1，费用=2
    • \(s \to t\)：容量=1，费用=4
  • 步骤：
    1. 初始流为0。
    2. 最短路径 \(s \to a \to t\)，费用=3，推送流量=1（受 \(a \to t\) 容量限制）。
    3. 更新后，\(a \to t\) 满容量，残量网络中移除 \(a \to t\) 正向边，添加反向边。
    4. 下一最短路径 \(s \to t\)，费用=4，推送流量=1。
    5. 最大流 \(F=2\)，总费用=1×3 + 1×4 = 7。

总结
SSP算法通过逐步增广最短路径，结合残量网络动态调整，在保证流最大的同时最小化费用。其核心在于维护无负环的残量图并高效求解最短路径，是解决最小费用最大流问题的经典方法。

xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path算法） 题目描述 给定一个带权有向图，其中每条边除了有容量限制（表示最大可流通量）外，还有一个单位流量的费用。目标是在满足流量从源点 \(s\) 到汇点 \(t\) 最大的前提下，使总费用最小。该问题称为 最小费用最大流问题 （Minimum Cost Maximum Flow, MCMF）。例如，在物流配送中，边容量代表运输能力，费用代表单位运输成本，问题等价于在最大化运输量的同时最小化总成本。 解题过程 1. 问题建模 图结构：有向图 \(G=(V,E)\)，每条边 \(e=(u,v)\) 有容量 \(c(e) \geq 0\) 和单位费用 \(w(e)\)（流量每增加1单位需付出的成本）。 目标：找到流函数 \(f: E \to \mathbb{R}^+\)，满足： 容量约束 ：\(0 \leq f(e) \leq c(e)\)。 流量守恒 ：除源点 \(s\) 和汇点 \(t\) 外，每个顶点入流等于出流。 最大流 ：从 \(s\) 到 \(t\) 的流量 \(F\) 最大化。 最小费用 ：总费用 \(\sum_ {e \in E} f(e) \cdot w(e)\) 在最大流条件下最小。 2. 核心思想：残量网络与负环消除 最小费用流问题常用 Successive Shortest Path（SSP）算法 求解，其核心是： 残量网络 ：基于当前流 \(f\) 构建残量图 \(G_ f\)： 对于原边 \(e=(u,v)\)，若 \(f(e) < c(e)\)，则在 \(G_ f\) 中保留正向边，容量为 \(c(e)-f(e)\)，费用为 \(w(e)\)。 对于反向边 \(e'=(v,u)\)，容量为 \(f(e)\)，费用为 \(-w(e)\)（用于回流抵消费用）。 关键性质 ：若残量网络中无负费用环，则当前流是最小费用流（对于当前流量值）。 SSP策略 ：每次在残量网络中找一条从 \(s\) 到 \(t\) 的 最短路径（按费用） ，并沿该路径推送尽可能多的流量，逐步增加总流量并保持费用最小。 3. 算法步骤详解 步骤1：初始化 初始流 \(f(e) = 0\)，总流量 \(F=0\)，总费用 \(Cost=0\)。 构建初始残量网络 \(G_ f\)（与原图相同，反向边容量为0）。 步骤2：检查可达性与可行性 若 \(s\) 到 \(t\) 在残量网络中不可达，算法终止（已达最大流）。 注意：若存在负费用环，需先用Bellman-Ford检测并消除（SSP假设初始无负环）。 步骤3：寻找最短路径 在残量网络 \(G_ f\) 中，使用 Bellman-Ford算法 （或允许负权的SPFA）计算从 \(s\) 到所有顶点的最短路径（按费用之和）。 记录路径的前驱节点和最短距离 \(d(v)\)。 步骤4：推送流量 若存在 \(s \to t\) 的路径，则沿该路径推送流量： 路径可推送的流量 \(\Delta = \min\{ \text{路径上边的剩余容量} \}\)。 更新路径上每条边 \(e\)： 正向边：流量增加 \(\Delta\)，剩余容量减少 \(\Delta\)。 反向边：容量增加 \(\Delta\)（允许后续回流）。 更新总流量 \(F \leftarrow F + \Delta\)，总费用 \(Cost \leftarrow Cost + \Delta \cdot d(t)\)（因为 \(d(t)\) 是路径费用和）。 步骤5：更新残量网络 根据新流更新 \(G_ f\) 中边的容量和反向边。 步骤6：重复步骤2–5 直到无法找到 \(s \to t\) 的路径（达到最大流），输出 \(F\) 和 \(Cost\)。 4. 正确性保证 归纳法 ：每次增加的路径是当前残量网络中费用最小的，保证在流量逐次增加时，每一步的费用增量最小。 无负环假设 ：算法过程中保持残量网络无负环，避免陷入无限循环或非最优解。 5. 复杂度分析 每次迭代使用Bellman-Ford求最短路径，复杂度 \(O(|V||E|)\)。 最多需增广 \(F_ {\max}\) 次（每次至少增加1单位流量），总复杂度 \(O(F_ {\max} \cdot |V||E|)\)。 若容量为整数，\(F_ {\max}\) 受最大流值限制，但对于大容量可能较慢。实际中常用SPFA或Dijkstra（通过势函数处理负权）优化。 6. 实例演示（简例） 考虑一个简单网络： 顶点：\(s, a, t\)，边： \(s \to a\)：容量=2，费用=1 \(a \to t\)：容量=1，费用=2 \(s \to t\)：容量=1，费用=4 步骤： 初始流为0。 最短路径 \(s \to a \to t\)，费用=3，推送流量=1（受 \(a \to t\) 容量限制）。 更新后，\(a \to t\) 满容量，残量网络中移除 \(a \to t\) 正向边，添加反向边。 下一最短路径 \(s \to t\)，费用=4，推送流量=1。 最大流 \(F=2\)，总费用=1×3 + 1×4 = 7。 总结 SSP算法通过逐步增广最短路径，结合残量网络动态调整，在保证流最大的同时最小化费用。其核心在于维护无负环的残量图并高效求解最短路径，是解决最小费用最大流问题的经典方法。