基于Kriging代理模型的优化算法基础题

字数 1622 2025-10-31 08:19:17

基于Kriging代理模型的优化算法基础题

题目描述：
考虑以下有约束非线性规划问题：
最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²
满足约束：
g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0
g₂(x) = (x₁ - 1)² + (x₂ - 3)² - 4 ≤ 0
其中 x ∈ [-1, 5] × [-1, 5]

由于目标函数和约束函数计算成本较高，需要采用基于Kriging代理模型的优化方法求解此问题。

解题过程：

第一步：理解Kriging代理模型的基本原理

Kriging方法是一种基于统计学的插值技术，它假设未知函数是随机过程的实现。其核心思想是：

通过有限个样本点构建目标函数的近似模型
不仅提供预测值，还提供预测不确定性（方差）
利用这种不确定性指导新的采样点选择

Kriging模型的数学形式为：
y(x) = μ + z(x)
其中μ是常数趋势项，z(x)是均值为0、协方差为σ²R(xi, xj)的高斯过程。

第二步：初始实验设计

首先需要在设计空间内选择初始样本点。常用的方法是拉丁超立方采样(LHS)，它保证样本点在每个维度上均匀分布。

对于本题的2维问题，我们可以选择10-20个初始点：

在[-1,5]×[-1,5]范围内生成LHS样本
计算这些点处的真实函数值f(x)和约束违反程度
记录所有样本点的函数值信息

第三步：构建Kriging代理模型

对于每个样本点xi，我们有对应的函数值yi。Kriging模型的构建包括：

计算相关矩阵R：使用相关函数（如高斯相关函数）计算样本点间的相关性
Rij = exp(-∑θk|xik - xjk|²)
估计模型参数：通过最大似然估计确定μ、σ²和θ参数
μ̂ = (1ᵀR⁻¹1)⁻¹1ᵀR⁻¹y
σ̂² = (y - 1μ̂)ᵀR⁻¹(y - 1μ̂)/n
构建预测公式：对于新点x*，预测值为
ŷ(x*) = μ̂ + rᵀR⁻¹(y - 1μ̂)
预测方差为
s²(x*) = σ̂²[1 - rᵀR⁻¹r + (1 - 1ᵀR⁻¹r)²/(1ᵀR⁻¹1)]

第四步：定义采集函数

采集函数用于平衡探索（高不确定性区域）和利用（当前最优区域）。最常用的是期望改进(EI)函数：

EI(x) = E[max(fmin - Y(x), 0)]
其中fmin是当前样本中的最佳函数值，Y(x)是x处的预测随机变量。

当Y(x)服从正态分布时，EI有解析表达式：
EI(x) = (fmin - ŷ(x))Φ(z) + s(x)φ(z)
其中z = (fmin - ŷ(x))/s(x)，Φ和φ分别是标准正态分布的累积分布函数和概率密度函数。

第五步：约束处理

对于约束优化问题，需要修改采集函数以考虑可行性。常用方法包括：

概率可行性方法：计算每个约束被满足的概率
P[gᵢ(x) ≤ 0] = Φ(-ĝᵢ(x)/sᵢ(x))
总体可行性概率为各约束概率的乘积
约束期望改进：将EI乘以总体可行性概率
CEI(x) = EI(x) × ∏P[gᵢ(x) ≤ 0]

第六步：优化循环

完整的优化算法流程如下：

使用LHS生成初始样本点，计算真实函数值
构建目标函数和约束函数的Kriging模型
优化采集函数（如约束期望改进函数）找到下一个采样点
在该点计算真实函数值，更新样本集
更新Kriging模型
检查收敛条件（如最大迭代次数、改进小于阈值等）
如未收敛，返回步骤3；否则输出最优解

第七步：收敛性分析

Kriging-based优化通常会在有限次迭代后收敛到全局最优解或高质量局部最优解。收敛的判断标准包括：

连续多次迭代目标函数改进很小
采集函数值很小（表明进一步改进的可能性低）
达到最大函数评估次数

这种方法特别适用于计算昂贵的工程优化问题，能够在较少函数评估下找到满意解。

基于Kriging代理模型的优化算法基础题题目描述：考虑以下有约束非线性规划问题：最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = (x₁ - 1)² + (x₂ - 3)² - 4 ≤ 0 其中 x ∈ [ -1, 5] × [ -1, 5 ] 由于目标函数和约束函数计算成本较高，需要采用基于Kriging代理模型的优化方法求解此问题。解题过程：第一步：理解Kriging代理模型的基本原理 Kriging方法是一种基于统计学的插值技术，它假设未知函数是随机过程的实现。其核心思想是：通过有限个样本点构建目标函数的近似模型不仅提供预测值，还提供预测不确定性（方差）利用这种不确定性指导新的采样点选择 Kriging模型的数学形式为： y(x) = μ + z(x) 其中μ是常数趋势项，z(x)是均值为0、协方差为σ²R(xi, xj)的高斯过程。第二步：初始实验设计首先需要在设计空间内选择初始样本点。常用的方法是拉丁超立方采样(LHS)，它保证样本点在每个维度上均匀分布。对于本题的2维问题，我们可以选择10-20个初始点：在[ -1,5]×[ -1,5 ]范围内生成LHS样本计算这些点处的真实函数值f(x)和约束违反程度记录所有样本点的函数值信息第三步：构建Kriging代理模型对于每个样本点xi，我们有对应的函数值yi。Kriging模型的构建包括：计算相关矩阵R ：使用相关函数（如高斯相关函数）计算样本点间的相关性 Rij = exp(-∑θk|xik - xjk|²) 估计模型参数：通过最大似然估计确定μ、σ²和θ参数 μ̂ = (1ᵀR⁻¹1)⁻¹1ᵀR⁻¹y σ̂² = (y - 1μ̂)ᵀR⁻¹(y - 1μ̂)/n 构建预测公式：对于新点x* ，预测值为 ŷ(x* ) = μ̂ + rᵀR⁻¹(y - 1μ̂) 预测方差为 s²(x* ) = σ̂²[ 1 - rᵀR⁻¹r + (1 - 1ᵀR⁻¹r)²/(1ᵀR⁻¹1) ] 第四步：定义采集函数采集函数用于平衡探索（高不确定性区域）和利用（当前最优区域）。最常用的是期望改进(EI)函数： EI(x) = E[ max(fmin - Y(x), 0) ] 其中fmin是当前样本中的最佳函数值，Y(x)是x处的预测随机变量。当Y(x)服从正态分布时，EI有解析表达式： EI(x) = (fmin - ŷ(x))Φ(z) + s(x)φ(z) 其中z = (fmin - ŷ(x))/s(x)，Φ和φ分别是标准正态分布的累积分布函数和概率密度函数。第五步：约束处理对于约束优化问题，需要修改采集函数以考虑可行性。常用方法包括：概率可行性方法：计算每个约束被满足的概率 P[ gᵢ(x) ≤ 0 ] = Φ(-ĝᵢ(x)/sᵢ(x)) 总体可行性概率为各约束概率的乘积约束期望改进：将EI乘以总体可行性概率 CEI(x) = EI(x) × ∏P[ gᵢ(x) ≤ 0 ] 第六步：优化循环完整的优化算法流程如下：使用LHS生成初始样本点，计算真实函数值构建目标函数和约束函数的Kriging模型优化采集函数（如约束期望改进函数）找到下一个采样点在该点计算真实函数值，更新样本集更新Kriging模型检查收敛条件（如最大迭代次数、改进小于阈值等）如未收敛，返回步骤3；否则输出最优解第七步：收敛性分析 Kriging-based优化通常会在有限次迭代后收敛到全局最优解或高质量局部最优解。收敛的判断标准包括：连续多次迭代目标函数改进很小采集函数值很小（表明进一步改进的可能性低）达到最大函数评估次数这种方法特别适用于计算昂贵的工程优化问题，能够在较少函数评估下找到满意解。