排序算法之：最小交换次数排序（Minimum Swaps to Sort）的进阶应用：图论模型与环分解优化

题目描述：给定一个由互不相同的整数组成的数组，求将数组排序所需的最小交换次数。每次交换可以交换任意两个元素的位置。

解题过程：

1. 问题分析：

   • 目标是将数组通过交换操作变成升序排列
   • 每次交换可以改变两个元素的位置
   • 需要找到最少的交换次数

2. 关键观察：

   • 将数组元素与其在排序后数组中的正确位置建立映射关系
   • 这个映射关系形成了一个置换（permutation）
   • 置换可以分解为若干个不相交的环（cycle）

3. 图论建模：

   • 将每个数组位置看作图中的一个节点
   • 如果位置i的元素应该被移动到位置j，则建立从i到j的有向边
   • 这样形成的图由若干个环组成

4. 环分解算法：

   def min_swaps(arr):
       n = len(arr)
       # 创建排序后的数组和位置映射
       sorted_arr = sorted(arr)
       pos_map = {}
       for i, val in enumerate(sorted_arr):
           pos_map[val] = i
   
       visited = [False] * n
       swaps = 0
   
       for i in range(n):
           if not visited[i]:
               # 开始追踪一个新的环
               cycle_size = 0
               j = i
   
               while not visited[j]:
                   visited[j] = True
                   # 当前元素应该去的位置
                   correct_pos = pos_map[arr[j]]
                   j = correct_pos
                   cycle_size += 1
   
               # 环的大小为k时，需要k-1次交换
               if cycle_size > 1:
                   swaps += (cycle_size - 1)
   
       return swaps
   

5. 算法正确性证明：

   • 每个大小为k的环需要k-1次交换才能将所有元素归位
   • 这是因为每次交换可以将一个元素放到正确位置，同时保持环的结构
   • 最后一个元素自然会在正确位置上

6. 时间复杂度分析：

   • 排序：O(n log n)
   • 环分解：O(n)
   • 总时间复杂度：O(n log n)

7. 空间复杂度分析：

   • 需要O(n)的存储空间用于位置映射和访问标记

8. 进阶优化：处理重复元素的情况

   • 当数组包含重复元素时，需要更精细的处理
   • 可以使用稳定排序来保持相同元素的相对顺序
   • 环分解时需要确保相同元素不会被错误交换

9. 实际应用：

   • 内存页面置换优化
   • 数据库查询优化中的记录重排
   • 并行计算中的数据局部性优化

通过这种图论方法，我们能够高效地计算出排序所需的最小交换次数，相比暴力方法有显著的性能提升。