高斯-勒让德求积公式在电磁场计算中的边界积分应用
题目描述：
在电磁场计算中，边界积分方法常用于求解静电场或静磁场的边值问题。例如，计算导体表面的电荷分布时，需要求解第一类弗雷德霍姆积分方程：
\[V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_S \frac{\sigma(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \, dS' \]
其中 \(V(\mathbf{r})\) 为已知电势，\(\sigma(\mathbf{r}')\) 为待求电荷密度，积分域 \(S\) 为导体表面。由于解析解通常难以获得，需采用数值积分。高斯-勒让德求积公式因其高精度特性，适用于此类边界积分的离散化。
解题过程：
- 边界离散化：
- 将导体表面 \(S\) 剖分为若干单元（如三角形或四边形），每个单元视为局部积分域。
- 在每个单元上建立局部坐标系（如参考单元上的参数坐标 \((\xi, \eta)\)），通过等参变换将物理坐标 \(\mathbf{r}'\) 映射为参数坐标：
\[ \mathbf{r}'(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^n N_i(\xi, \eta) \mathbf{r}_i \]
其中 $N_i$ 为形函数，$\mathbf{r}_i$ 为节点坐标。
- 积分方程离散化：
- 在每个单元上，电荷密度 \(\sigma(\mathbf{r}')\) 用形函数插值：
\[ \sigma(\xi, \eta) = \sum_{j=1}^m M_j(\xi, \eta) \sigma_j \]
其中 $M_j$ 为电荷密度的基函数（可与形函数相同或不同）。
- 积分项变为：
\[ \int_{S_e} \frac{\sigma(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \, dS' = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{\sigma(\xi, \eta)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'(\xi, \eta)|} |J(\xi, \eta)| \, d\xi \, d\eta \]
这里 $|J|$ 为雅可比行列式，表示面积微元的变换。
- 应用高斯-勒让德求积：
- 对二重积分采用张量积形式的高斯-勒让德公式：
\[ \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 f(\xi, \eta) \, d\xi \, d\eta \approx \sum_{i=1}^{n_\xi} \sum_{j=1}^{n_\eta} w_i w_j f(\xi_i, \eta_j) \]
其中 $(\xi_i, \eta_j)$ 为勒让德多项式根对应的节点，$w_i, w_j$ 为权重。
- 若被积函数含奇点（如 \(|\mathbf{r} - \mathbf{r}'| \to 0\)），需采用奇点处理技术（如极坐标变换或 Duffy变换）。
- 构建线性方程组：
- 将离散后的积分方程在边界节点上匹配已知电势 \(V(\mathbf{r}_k)\)，形成线性方程组：
\[ \mathbf{V} = \mathbf{G} \boldsymbol{\sigma} \]
其中矩阵 $\mathbf{G}$ 的元素由高斯求积计算得到，例如：
\[ G_{kl} = \sum_{e} \sum_{i,j} w_i w_j \frac{M_l(\xi_i, \eta_j)}{|\mathbf{r}_k - \mathbf{r}'_e(\xi_i, \eta_j)|} |J_e(\xi_i, \eta_j)| \]
- 误差控制与收敛性：
- 高斯-勒让德公式的误差随节点数 \(n\) 以指数速度下降（若被积函数光滑）。
- 在实际电磁计算中，需结合 \(h\)-自适应（细分单元）或 \(p\)-自适应（增加节点数）策略平衡精度与计算成本。
关键点：
- 高斯-勒让德求积在边界积分中能显著减少数值误差，尤其适用于光滑核函数（如 \(1/r\)）。
- 若积分域形状复杂，需确保雅可比行列式在变换中准确计算，避免几何误差。
- 对于近奇点问题，可结合自适应积分或解析积分修正提升稳定性。