高斯-勒让德求积公式在电磁场计算中的边界积分应用
题目描述
在电磁场计算中，经常需要求解边界积分方程，例如计算导体表面的电荷分布。这类积分通常形式为：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{\rho(x)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + d^2}} dx \]
其中 \(\rho(x)\) 是待求的电荷密度函数，\(x_0\) 是场点位置，\(d\) 是场点到导体表面的垂直距离。当 \(d \to 0\) 时，被积函数在 \(x = x_0\) 处呈现弱奇异性（积分收敛但导数发散）。本题要求使用高斯-勒让德求积公式计算此类积分，并分析其处理近奇异性时的精度。
解题过程
1. 问题分析与挑战
- 积分特性：被积函数的分母 \(\sqrt{(x - x_0)^2 + d^2}\) 在 \(d\) 较小时，于 \(x = x_0\) 附近变化剧烈，导致普通数值积分方法需要极细的分割才能保证精度。
- 高斯-勒让德求积的优势：对于光滑函数，高斯求积利用 \(n\) 个节点可达到 \(2n-1\) 次代数精度，但奇异性会破坏其收敛性。需通过变换或节点调整适应近奇异性。
2. 高斯-勒让德求积公式回顾
公式的基本形式为：
\[\int_{-1}^{1} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
其中 \(x_i\) 是勒让德多项式 \(P_n(x)\) 的根，权重 \(w_i = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)]^2}\)。节点和权重需预先计算（如通过 Golub-Welsch 算法）。
3. 处理近奇异性的策略
- 节点加密：在 \(x_0\) 附近增加节点密度。但高斯求积的节点位置固定，需通过分段积分实现：
将积分区间 \([-1,1]\) 分割为 \([-1, x_0-\epsilon]\), \([x_0-\epsilon, x_0+\epsilon]\), \([x_0+\epsilon, 1]\)，对每个子区间应用高斯-勒让德求积。 - 变量变换：采用坐标变换平滑奇异性。例如令 \(t = \arcsin(x)\)，但此处更有效的变换是 正弦变换：
\[ x = x_0 + d \cdot \tanh(s) \]
该变换将奇点附近区域拉伸，使得被积函数在 \(s\) 空间更平滑。
4. 具体计算步骤
步骤 1：区间分割与自适应加密
- 初始将 \([-1,1]\) 等分为 \(m\) 个子区间（如 \(m=10\)）。
- 对每个子区间应用 \(n\) 点高斯-勒让德求积（如 \(n=5\)）。
- 若相邻子区间的结果差异超过阈值，对该子区间进一步分割（递归自适应）。
步骤 2：变量变换法示例（以正弦变换为例）
- 令 \(x = x_0 + d \cdot \sinh(t)\)，则 \(dx = d \cdot \cosh(t) dt\)。
- 积分变为：
\[ I = \int_{t_a}^{t_b} \frac{\rho(x_0 + d \cdot \sinh(t)) \cdot d \cdot \cosh(t)}{\sqrt{d^2 \sinh^2(t) + d^2}} dt = \int_{t_a}^{t_b} \rho(x_0 + d \cdot \sinh(t)) \cdot \cosh(t) dt \]
其中 $t_a = \arcsinh((-1 - x_0)/d)$, $t_b = \arcsinh((1 - x_0)/d)$。
- 新被积函数不再含奇异性，直接应用高斯-勒让德求积。
5. 误差控制与收敛性
- 自适应分割：通过比较不同精度结果估计误差，若误差大于容差（如 \(10^{-6}\)），则加密网格。
- 变换法的优势：变换后积分收敛速度恢复至 \(O(n^{-k})\)（\(k\) 取决于函数平滑度），远优于直接求积的 \(O(n^{-1/2})\)。
6. 实例验证
设 \(\rho(x) = 1\)（均匀电荷），\(x_0=0.5\), \(d=0.01\)，精确解可通过解析积分求得：
\[I_{\text{exact}} = \ln\left( \frac{\sqrt{(1-0.5)^2 + 0.01^2} + (1-0.5)}{\sqrt{(-1-0.5)^2 + 0.01^2} + (-1-0.5)} \right) \]
分别使用直接高斯求积（\(n=20\)）和正弦变换法（\(n=10\)）计算，后者误差可降低至 \(10^{-8}\) 量级。
总结
高斯-勒让德求积公式通过自适应分割或变量变换，可有效处理边界积分中的近奇异性。关键在于将奇点附近区间局部加密或通过变换平滑函数，从而恢复高阶收敛性。此法在电磁场、声学等边界元方法中广泛应用。