QR分解在求解超定线性方程组中的应用

字数 2206 2025-10-31 08:19:17

QR分解在求解超定线性方程组中的应用

我将为您讲解如何使用QR分解来求解超定线性方程组，这是一个在数据拟合、信号处理和机器学习等领域非常重要的线性代数算法。

问题描述

考虑一个超定线性方程组：\(A\vec{x} = \vec{b}\)，其中：

\(A\) 是一个 \(m \times n\) 的矩阵，且 \(m > n\)（即方程数量多于未知数数量）
\(\vec{b}\) 是一个 \(m \times 1\) 的向量
\(\vec{x}\) 是一个 \(n \times 1\) 的未知向量

由于方程数量多于未知数，这个方程组通常没有精确解。我们的目标是找到一个解 \(\vec{x}\) 使得残差向量 \(\vec{r} = \vec{b} - A\vec{x}\) 的2-范数最小，即求解最小二乘问题：

\[ \min_{\vec{x}} \|\vec{b} - A\vec{x}\|_2 \]

解题步骤

第一步：理解QR分解的基本概念

QR分解是将矩阵 \(A\) 分解为两个矩阵的乘积：

\[ A = QR \]

其中：

\(Q\) 是一个 \(m \times m\) 的正交矩阵（满足 \(Q^T Q = I\)）
\(R\) 是一个 \(m \times n\) 的上三角矩阵（下半部分都是零）

对于超定系统，我们通常使用经济型QR分解：\(Q\) 取前 \(n\) 列形成 \(m \times n\) 矩阵，\(R\) 取前 \(n\) 行形成 \(n \times n\) 上三角矩阵。

第二步：将最小二乘问题转化为QR分解形式

将 \(A = QR\) 代入残差表达式：

\[ \|\vec{b} - A\vec{x}\|_2 = \|\vec{b} - QR\vec{x}\|_2 \]

利用正交矩阵保持向量长度不变的性质（\(\|Q\vec{y}\|_2 = \|\vec{y}\|_2\)），我们得到：

\[ \|\vec{b} - QR\vec{x}\|_2 = \|Q^T\vec{b} - Q^TQR\vec{x}\|_2 = \|Q^T\vec{b} - R\vec{x}\|_2 \]

第三步：分割矩阵和向量

将 \(Q^T\vec{b}\) 分割为两部分：

\[ Q^T\vec{b} = \begin{bmatrix} \vec{c} \\ \vec{d} \end{bmatrix} \]

其中：

\(\vec{c}\) 是前 \(n\) 个元素组成的向量
\(\vec{d}\) 是剩余 \(m-n\) 个元素组成的向量

同时，\(R\) 可以写为：

\[ R = \begin{bmatrix} R_1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

其中 \(R_1\) 是 \(n \times n\) 的上三角矩阵。

第四步：简化最小二乘问题

现在残差表达式变为：

\[ \|Q^T\vec{b} - R\vec{x}\|_2 = \left\| \begin{bmatrix} \vec{c} \\ \vec{d} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} R_1\vec{x} \\ 0 \end{bmatrix} \right\|_2 = \left\| \begin{bmatrix} \vec{c} - R_1\vec{x} \\ \vec{d} \end{bmatrix} \right\|_2 \]

向量的2-范数平方为：

\[ \|\vec{c} - R_1\vec{x}\|_2^2 + \|\vec{d}\|_2^2 \]

第五步：求解最优解

最小化这个表达式时，只有第一部分 \(\|\vec{c} - R_1\vec{x}\|_2^2\) 依赖于 \(\vec{x}\)，而第二部分 \(\|\vec{d}\|_2^2\) 是常数。因此，最小化问题简化为：

\[ \min_{\vec{x}} \|\vec{c} - R_1\vec{x}\|_2 \]

由于 \(R_1\) 是上三角矩阵，这个方程组可以通过回代法精确求解：

\[ R_1\vec{x} = \vec{c} \]

第六步：算法实现步骤

对矩阵 \(A\) 进行QR分解：\(A = QR\)
计算 \(\vec{y} = Q^T\vec{b}\)
提取 \(\vec{y}\) 的前 \(n\) 个元素得到 \(\vec{c}\)
解上三角系统 \(R_1\vec{x} = \vec{c}\)（通过回代法）
得到最小二乘解 \(\vec{x}\)

第七步：计算残差

最小残差为 \(\|\vec{d}\|_2\)，即 \(\vec{y}\) 的后 \(m-n\) 个元素的2-范数。

总结

QR分解方法通过将原始问题转化为易于求解的上三角系统，为超定线性方程组提供了稳定可靠的数值解法。相比直接解法，QR分解具有更好的数值稳定性，特别适用于病态问题。这种方法在实际工程和科学计算中得到了广泛应用。

QR分解在求解超定线性方程组中的应用我将为您讲解如何使用QR分解来求解超定线性方程组，这是一个在数据拟合、信号处理和机器学习等领域非常重要的线性代数算法。问题描述考虑一个超定线性方程组：\( A\vec{x} = \vec{b} \)，其中： \( A \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵，且 \( m > n \)（即方程数量多于未知数数量） \( \vec{b} \) 是一个 \( m \times 1 \) 的向量 \( \vec{x} \) 是一个 \( n \times 1 \) 的未知向量由于方程数量多于未知数，这个方程组通常没有精确解。我们的目标是找到一个解 \( \vec{x} \) 使得残差向量 \( \vec{r} = \vec{b} - A\vec{x} \) 的2-范数最小，即求解最小二乘问题： \[ \min_ {\vec{x}} \|\vec{b} - A\vec{x}\|_ 2 \] 解题步骤第一步：理解QR分解的基本概念 QR分解是将矩阵 \( A \) 分解为两个矩阵的乘积： \[ A = QR \] 其中： \( Q \) 是一个 \( m \times m \) 的正交矩阵（满足 \( Q^T Q = I \)） \( R \) 是一个 \( m \times n \) 的上三角矩阵（下半部分都是零）对于超定系统，我们通常使用经济型QR分解：\( Q \) 取前 \( n \) 列形成 \( m \times n \) 矩阵，\( R \) 取前 \( n \) 行形成 \( n \times n \) 上三角矩阵。第二步：将最小二乘问题转化为QR分解形式将 \( A = QR \) 代入残差表达式： \[ \|\vec{b} - A\vec{x}\|_ 2 = \|\vec{b} - QR\vec{x}\|_ 2 \] 利用正交矩阵保持向量长度不变的性质（\( \|Q\vec{y}\|_ 2 = \|\vec{y}\|_ 2 \)），我们得到： \[ \|\vec{b} - QR\vec{x}\|_ 2 = \|Q^T\vec{b} - Q^TQR\vec{x}\|_ 2 = \|Q^T\vec{b} - R\vec{x}\|_ 2 \] 第三步：分割矩阵和向量将 \( Q^T\vec{b} \) 分割为两部分： \[ Q^T\vec{b} = \begin{bmatrix} \vec{c} \\ \vec{d} \end{bmatrix} \] 其中： \( \vec{c} \) 是前 \( n \) 个元素组成的向量 \( \vec{d} \) 是剩余 \( m-n \) 个元素组成的向量同时，\( R \) 可以写为： \[ R = \begin{bmatrix} R_ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \] 其中 \( R_ 1 \) 是 \( n \times n \) 的上三角矩阵。第四步：简化最小二乘问题现在残差表达式变为： \[ \|Q^T\vec{b} - R\vec{x}\|_ 2 = \left\| \begin{bmatrix} \vec{c} \\ \vec{d} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} R_ 1\vec{x} \\ 0 \end{bmatrix} \right\|_ 2 = \left\| \begin{bmatrix} \vec{c} - R_ 1\vec{x} \\ \vec{d} \end{bmatrix} \right\|_ 2 \] 向量的2-范数平方为： \[ \|\vec{c} - R_ 1\vec{x}\|_ 2^2 + \|\vec{d}\|_ 2^2 \] 第五步：求解最优解最小化这个表达式时，只有第一部分 \( \|\vec{c} - R_ 1\vec{x}\|_ 2^2 \) 依赖于 \( \vec{x} \)，而第二部分 \( \|\vec{d}\| 2^2 \) 是常数。因此，最小化问题简化为： \[ \min {\vec{x}} \|\vec{c} - R_ 1\vec{x}\|_ 2 \] 由于 \( R_ 1 \) 是上三角矩阵，这个方程组可以通过回代法精确求解： \[ R_ 1\vec{x} = \vec{c} \] 第六步：算法实现步骤对矩阵 \( A \) 进行QR分解：\( A = QR \) 计算 \( \vec{y} = Q^T\vec{b} \) 提取 \( \vec{y} \) 的前 \( n \) 个元素得到 \( \vec{c} \) 解上三角系统 \( R_ 1\vec{x} = \vec{c} \)（通过回代法）得到最小二乘解 \( \vec{x} \) 第七步：计算残差最小残差为 \( \|\vec{d}\|_ 2 \)，即 \( \vec{y} \) 的后 \( m-n \) 个元素的2-范数。总结 QR分解方法通过将原始问题转化为易于求解的上三角系统，为超定线性方程组提供了稳定可靠的数值解法。相比直接解法，QR分解具有更好的数值稳定性，特别适用于病态问题。这种方法在实际工程和科学计算中得到了广泛应用。