列生成算法在整数规划中的应用示例
字数 2292 2025-10-31 08:19:17

列生成算法在整数规划中的应用示例

题目描述
考虑一个整数规划问题：某工厂需要生产两种产品A和B，生产过程中使用两种原材料（甲和乙）。已知每生产1单位A产品消耗甲材料2单位、乙材料1单位，利润为3元；每生产1单位B产品消耗甲材料1单位、乙材料3单位，利润为5元。现有甲材料100单位、乙材料120单位。工厂希望制定生产计划（A和B的产量为非负整数），在资源限制下最大化总利润。若直接枚举所有整数解组合计算量较大，尝试使用列生成算法（结合分支定价）高效求解。

解题过程

1. 问题建模
设产品A的产量为 \(x_1\)（整数），产品B的产量为 \(x_2\)（整数），建立整数规划模型：

\[\text{Maximize} \quad 3x_1 + 5x_2 \]

\[ \text{Subject to} \quad 2x_1 + x_2 \leq 100 \quad \text{(甲材料约束)} \]

\[ x_1 + 3x_2 \leq 120 \quad \text{(乙材料约束)} \]

\[ x_1, x_2 \geq 0, \quad \text{整数} \]

2. 列生成算法核心思想

  • 主问题（Master Problem, MP）：初始仅包含部分变量（列），通过不断生成新列（即新变量）改进解。
  • 子问题（Pricing Problem）：检查是否存在未加入主问题的列，其检验数（降低成本）可改善当前目标值。
  • 整数性处理：将列生成嵌入分支定界框架（分支定价），在每个节点求解线性松弛并生成必要列。

3. 算法步骤详解

步骤1：构造限制主问题（RMP）
初始仅包含部分变量，例如仅包含单位矩阵对应的辅助变量（松弛变量）或简单可行列。这里为简化，假设初始RMP包含两个人工变量 \(s_1, s_2\)（松弛变量）和初始可行列（如 \(x_1, x_2\) 的某个组合）：

\[\text{RMP: Maximize} \quad 3x_1 + 5x_2 \]

\[ 2x_1 + x_2 + s_1 = 100 \]

\[ x_1 + 3x_2 + s_2 = 120 \]

\[ x_1, x_2, s_1, s_2 \geq 0 \]

（注意：实际列生成中初始RMP可能仅包含少量列，此处为演示方便直接包含 \(x_1, x_2\)）

步骤2：求解RMP的线性松弛
使用单纯形法求解RMP，得到最优解和对应的对偶变量值。假设初始解为 \(x_1=0, x_2=0, s_1=100, s_2=120\)，但对偶变量未激活。更合理的初始列可通过启发式方法生成，例如单独优化某个产品：

  • 若只生产B，最大产量为 \(\min(100/1, 120/3)=40\)，利润200。
  • 将列 \((x_1, x_2)=(0,1)\) 和 \((1,0)\) 加入RMP。

步骤3：子问题构造与求解
子问题目标为寻找降低成本（检验数）最大的列。设当前RMP的对偶变量为 \(\pi_1\)（对应甲约束）和 \(\pi_2\)（对应乙约束）。子问题为：

\[\text{Maximize} \quad (3 - 2\pi_1 - \pi_2) x_1 + (5 - \pi_1 - 3\pi_2) x_2 \]

\[ \text{Subject to} \quad x_1, x_2 \geq 0, \quad \text{整数} \]

（注意：子问题本身是整数规划，但小规模时可枚举或直接分析。）

  • 若子问题目标最大值 > 0，则对应列可加入RMP；否则当前RMP已是最优线性松弛。

步骤4：迭代生成新列
举例迭代过程：

  1. 初始RMP包含列 \((0,1)\) 和 \((1,0)\)，求解RMP得 \(x_1=36, x_2=28\)（通过单纯形法计算），对偶变量 \(\pi_1=1, \pi_2=1\)。
  2. 子问题目标：\((3-2-1)x_1 + (5-1-3)x_2 = 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2\)。最大值为正（当 \(x_2>0\)），但列 \((0,1)\) 已在RMP中。需检查其他列如 \((x_1,x_2)=(1,1)\)：降低成本为 \(3+5-2-1-1-3=1>0\)，可加入RMP。
  3. 更新RMP，重新求解，重复直至子问题目标最大值 ≤ 0。

步骤5：处理整数约束
当线性松弛最优解非整数时，进入分支定界：

  • 分支：选择分数变量（如 \(x_1=15.5\)）生成两个子节点（\(x_1 \leq 15\) 和 \(x_1 \geq 16\)）。
  • 在每个节点应用列生成求解线性松弛，直到所有节点被剪枝或找到整数最优解。

4. 最终结果
通过分支定价最终得到整数最优解：
枚举验证可得最优解为 \(x_1=30, x_2=30\)，利润 \(3\times30 + 5\times30 = 240\)，满足约束：
甲材料：\(2\times30 + 30 = 90 \leq 100\)
乙材料：\(30 + 3\times30 = 120 \leq 120\)

关键点总结

  • 列生成通过分解问题避免枚举所有变量，尤其适用于变量数远多于约束数的问题。
  • 分支定价结合了列生成和分支定界，是求解大规模整数规划的有效方法。
  • 本例中子问题规模小可直接计算，实际应用中子问题可能为复杂整数规划需专用算法。
列生成算法在整数规划中的应用示例 题目描述 考虑一个整数规划问题：某工厂需要生产两种产品A和B，生产过程中使用两种原材料（甲和乙）。已知每生产1单位A产品消耗甲材料2单位、乙材料1单位，利润为3元；每生产1单位B产品消耗甲材料1单位、乙材料3单位，利润为5元。现有甲材料100单位、乙材料120单位。工厂希望制定生产计划（A和B的产量为非负整数），在资源限制下最大化总利润。若直接枚举所有整数解组合计算量较大，尝试使用列生成算法（结合分支定价）高效求解。 解题过程 1. 问题建模 设产品A的产量为 \(x_ 1\)（整数），产品B的产量为 \(x_ 2\)（整数），建立整数规划模型： \[ \text{Maximize} \quad 3x_ 1 + 5x_ 2 \] \[ \text{Subject to} \quad 2x_ 1 + x_ 2 \leq 100 \quad \text{(甲材料约束)} \] \[ x_ 1 + 3x_ 2 \leq 120 \quad \text{(乙材料约束)} \] \[ x_ 1, x_ 2 \geq 0, \quad \text{整数} \] 2. 列生成算法核心思想 主问题（Master Problem, MP） ：初始仅包含部分变量（列），通过不断生成新列（即新变量）改进解。 子问题（Pricing Problem） ：检查是否存在未加入主问题的列，其检验数（降低成本）可改善当前目标值。 整数性处理 ：将列生成嵌入分支定界框架（分支定价），在每个节点求解线性松弛并生成必要列。 3. 算法步骤详解 步骤1：构造限制主问题（RMP） 初始仅包含部分变量，例如仅包含单位矩阵对应的辅助变量（松弛变量）或简单可行列。这里为简化，假设初始RMP包含两个人工变量 \(s_ 1, s_ 2\)（松弛变量）和初始可行列（如 \(x_ 1, x_ 2\) 的某个组合）： \[ \text{RMP: Maximize} \quad 3x_ 1 + 5x_ 2 \] \[ 2x_ 1 + x_ 2 + s_ 1 = 100 \] \[ x_ 1 + 3x_ 2 + s_ 2 = 120 \] \[ x_ 1, x_ 2, s_ 1, s_ 2 \geq 0 \] （注意：实际列生成中初始RMP可能仅包含少量列，此处为演示方便直接包含 \(x_ 1, x_ 2\)） 步骤2：求解RMP的线性松弛 使用单纯形法求解RMP，得到最优解和对应的对偶变量值。假设初始解为 \(x_ 1=0, x_ 2=0, s_ 1=100, s_ 2=120\)，但对偶变量未激活。更合理的初始列可通过启发式方法生成，例如单独优化某个产品： 若只生产B，最大产量为 \(\min(100/1, 120/3)=40\)，利润200。 将列 \((x_ 1, x_ 2)=(0,1)\) 和 \((1,0)\) 加入RMP。 步骤3：子问题构造与求解 子问题目标为寻找降低成本（检验数）最大的列。设当前RMP的对偶变量为 \(\pi_ 1\)（对应甲约束）和 \(\pi_ 2\)（对应乙约束）。子问题为： \[ \text{Maximize} \quad (3 - 2\pi_ 1 - \pi_ 2) x_ 1 + (5 - \pi_ 1 - 3\pi_ 2) x_ 2 \] \[ \text{Subject to} \quad x_ 1, x_ 2 \geq 0, \quad \text{整数} \] （注意：子问题本身是整数规划，但小规模时可枚举或直接分析。） 若子问题目标最大值 > 0，则对应列可加入RMP；否则当前RMP已是最优线性松弛。 步骤4：迭代生成新列 举例迭代过程： 初始RMP包含列 \((0,1)\) 和 \((1,0)\)，求解RMP得 \(x_ 1=36, x_ 2=28\)（通过单纯形法计算），对偶变量 \(\pi_ 1=1, \pi_ 2=1\)。 子问题目标：\((3-2-1)x_ 1 + (5-1-3)x_ 2 = 0\cdot x_ 1 + 1\cdot x_ 2\)。最大值为正（当 \(x_ 2>0\)），但列 \((0,1)\) 已在RMP中。需检查其他列如 \((x_ 1,x_ 2)=(1,1)\)：降低成本为 \(3+5-2-1-1-3=1>0\)，可加入RMP。 更新RMP，重新求解，重复直至子问题目标最大值 ≤ 0。 步骤5：处理整数约束 当线性松弛最优解非整数时，进入分支定界： 分支：选择分数变量（如 \(x_ 1=15.5\)）生成两个子节点（\(x_ 1 \leq 15\) 和 \(x_ 1 \geq 16\)）。 在每个节点应用列生成求解线性松弛，直到所有节点被剪枝或找到整数最优解。 4. 最终结果 通过分支定价最终得到整数最优解： 枚举验证可得最优解为 \(x_ 1=30, x_ 2=30\)，利润 \(3\times30 + 5\times30 = 240\)，满足约束： 甲材料：\(2\times30 + 30 = 90 \leq 100\) 乙材料：\(30 + 3\times30 = 120 \leq 120\) 关键点总结 列生成通过分解问题避免枚举所有变量，尤其适用于变量数远多于约束数的问题。 分支定价结合了列生成和分支定界，是求解大规模整数规划的有效方法。 本例中子问题规模小可直接计算，实际应用中子问题可能为复杂整数规划需专用算法。