高斯-勒让德求积公式的稳定性分析
题目描述
高斯-勒让德求积公式是一种数值积分方法，通过选择最优节点和权重，使公式在区间 \([-1, 1]\) 上对多项式达到最高代数精度。稳定性分析旨在研究当节点函数值存在微小误差（如舍入误差）时，积分结果的误差如何传播。具体问题：设积分公式为
\[\int_{-1}^{1} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i), \]
其中 \(x_i\) 和 \(w_i\) 分别为勒让德多项式的根和对应权重。若实际计算的函数值 \(\tilde{f}(x_i) = f(x_i) + \epsilon_i\)（\(\epsilon_i\) 为误差），分析积分误差的界。
解题过程
- 定义误差模型
实际计算的积分值为：
\[ Q_n(f) = \sum_{i=1}^{n} w_i \tilde{f}(x_i) = \sum_{i=1}^{n} w_i [f(x_i) + \epsilon_i]. \]
绝对误差为：
\[ E = \left| \sum_{i=1}^{n} w_i \epsilon_i \right|. \]
- 误差的上界估计
利用绝对值不等式：
\[ |E| \leq \sum_{i=1}^{n} |w_i| \cdot |\epsilon_i|. \]
假设每个节点的误差满足 \(|\epsilon_i| \leq \delta\)（\(\delta\) 为最大误差），则：
\[ |E| \leq \delta \sum_{i=1}^{n} |w_i|. \]
定义稳定性常数 \(C_n = \sum_{i=1}^{n} |w_i|\)，它反映了误差的放大程度。
- 分析权重性质
- 高斯-勒让德公式的权重 \(w_i\) 均为正数（关键性质），因此 \(C_n = \sum_{i=1}^{n} w_i\)。
- 对于任意 \(n\)，公式对常数函数 \(f(x)=1\) 精确成立：
\[ \int_{-1}^{1} 1 dx = 2 = \sum_{i=1}^{n} w_i. \]
故 $C_n = 2$，与节点数 $n$ 无关。
- 稳定性结论
代入误差界：
\[ |E| \leq 2\delta. \]
这表明高斯-勒让德公式是数值稳定的，因为误差不会随节点数增加而放大（\(C_n\) 恒为 2）。相比之下，某些求积公式（如牛顿-科特斯公式的高阶版本）的权重可能为负，导致 \(C_n\) 随 \(n\) 增长，稳定性较差。
- 实际意义
稳定性保证即使在存在舍入误差时，积分结果仍可靠。但需注意：- 若 \(\delta\) 较大（如函数值计算本身不精确），误差可能显著。
- 公式的总体误差还包含截断误差，需综合权衡节点数选择。