双步位移QR算法在实Hessenberg矩阵特征值计算中的应用

字数 2434 2025-10-31 08:19:17

双步位移QR算法在实Hessenberg矩阵特征值计算中的应用

题目描述
双步位移QR算法是计算实矩阵特征值的高效数值方法，特别适用于已转化为上Hessenberg形式的矩阵。当矩阵有复特征值时，标准QR算法需在复数域运算，但双步位移策略通过两次实数位移避免复数运算。其核心思想是：对实上Hessenberg矩阵 \(H\)，选取两个位移（通常由矩阵右下角2×2子矩阵的特征值决定），连续执行两次带位移的QR迭代，最终得到一个实运算过程，高效逼近拟上三角矩阵（实Schur形式），从而提取所有特征值。

解题过程

1. 问题背景与目标

对于实矩阵 \(A\)，直接QR迭代每次需 \(O(n^3)\) 运算。若先将 \(A\) 化为上Hessenberg矩阵 \(H\)（仅上三角部分和非零次对角线元素非零），迭代成本降为 \(O(n^2)\)。
但若 \(H\) 有复特征值，单步位移QR算法需复数运算。双步位移策略通过组合一对共轭复位移，使整个迭代过程保持实数域运算。
目标：通过双步位移QR迭代，将 \(H\) 化为拟上三角矩阵（对角块为1×1或2×2块），其特征值易求。

2. 算法步骤详解

步骤1：初始化

输入实上Hessenberg矩阵 \(H \in \mathbb{R}^{n \times n}\)。若 \(A\) 未化简，先用Householder变换化 \(A\) 为 \(H\)（成本 \(O(n^3)\)），但此为预处理步骤，本题假设已化简。

步骤2：位移选取

计算 \(H\) 右下角2×2子矩阵 \(M = \begin{bmatrix} h_{n-1,n-1} & h_{n-1,n} \\ h_{n,n-1} & h_{n,n} \end{bmatrix}\) 的特征值 \(\lambda_1, \lambda_2\)。
若 \(\lambda_1, \lambda_2\) 为实数，可分别用作单步位移；若为共轭复数，则选作双步位移。双步位移策略总使用 \(\lambda_1, \lambda_2\)（无论实或复），确保迭代实值性。

步骤3：双步位移QR迭代

子步骤3.1：计算初始向量
计算向量 \(v = (H - \lambda_1 I)(H - \lambda_2 I)e_1\)，其中 \(e_1 = [1, 0, \dots, 0]^T\)。由于 \(H\) 是上Hessenberg矩阵，\(v\) 仅前三个分量非零，计算仅需 \(O(1)\) 时间。
子步骤3.2：生成Householder反射子
构造Householder矩阵 \(P_0\)，使 \(P_0 v\) 平行于 \(e_1\)（即零化 \(v\) 的后两个分量）。应用 \(P_0\) 到 \(H\)：
\(H_1 = P_0 H P_0^T\)。因 \(P_0\) 仅影响前3行/列，\(H_1\) 保持Hessenberg形，但可能在第3行第1列引入非零元（称为"bulge"）。
子步骤3.3：追 bulge 过程
通过一系列Householder变换 \(P_1, P_2, \dots, P_{n-2}\) 将 bulge 向下驱逐，恢复上Hessenberg形：
- 对 \(k = 1\) 到 \(n-2\)：
  - 构造 \(P_k\) 零化 \(H_k\) 第 \(k+2\) 行第 \(k\) 列的 bulge 元素。
  - 更新 \(H_{k+1} = P_k H_k P_k^T\)。
- 最终得新矩阵 \(\tilde{H} = H_{n-1}\)，仍为上Hessenberg形，完成一次双步迭代。

步骤4：收敛判断与分解

检查 \(\tilde{H}\) 的次对角线元素：若 \(|\tilde{h}_{i+1,i}| < \epsilon\)（阈值，如 \(\epsilon = 10^{-15} \|H\|\)），视其为零，将 \(H\) 分割为块对角形式。
对每个不可约子块（对角块为1×1或2×2）递归应用双步位移QR迭代，直到所有特征值分离。

步骤5：特征值提取

拟上三角矩阵的对角块：1×1块直接给出实特征值；2×2块的特征值为一对共轭复数，通过解二次方程求得。

3. 关键点说明

避免复数运算：双步位移等价于连续两次单步位移 \((H - \lambda_1 I)(H - \lambda_2 I) = H^2 - 2\text{Re}(\lambda_1)H + |\lambda_1|^2 I\)（当 \(\lambda_2 = \bar{\lambda}_1\)），所有运算在实数域完成。
隐式Q定理：追 bulge 过程等价于显式完成双步位移QR分解，但避免直接计算 \(H^2\)，保证数值稳定性。
收敛性：通常次对角线元素快速衰减，最终隔离特征值。

4. 示例
考虑 \(H = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \end{bmatrix}\)：

右下2×2块 \(M = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}\)，特征值 \(\lambda_{1,2} = 4.5 \pm 0.5i\)（共轭复数）。
双步位移后，经3次Householder变换，次对角线元素减小，最终得拟上三角矩阵，特征值从2×2块提取。

此算法是LAPACK等库中实矩阵特征值计算（如dgeev）的核心。

双步位移QR算法在实Hessenberg矩阵特征值计算中的应用题目描述双步位移QR算法是计算实矩阵特征值的高效数值方法，特别适用于已转化为上Hessenberg形式的矩阵。当矩阵有复特征值时，标准QR算法需在复数域运算，但双步位移策略通过两次实数位移避免复数运算。其核心思想是：对实上Hessenberg矩阵 \( H \)，选取两个位移（通常由矩阵右下角2×2子矩阵的特征值决定），连续执行两次带位移的QR迭代，最终得到一个实运算过程，高效逼近拟上三角矩阵（实Schur形式），从而提取所有特征值。解题过程 1. 问题背景与目标对于实矩阵 \( A \)，直接QR迭代每次需 \( O(n^3) \) 运算。若先将 \( A \) 化为上Hessenberg矩阵 \( H \)（仅上三角部分和非零次对角线元素非零），迭代成本降为 \( O(n^2) \)。但若 \( H \) 有复特征值，单步位移QR算法需复数运算。双步位移策略通过组合一对共轭复位移，使整个迭代过程保持实数域运算。目标：通过双步位移QR迭代，将 \( H \) 化为拟上三角矩阵（对角块为1×1或2×2块），其特征值易求。 2. 算法步骤详解步骤1：初始化输入实上Hessenberg矩阵 \( H \in \mathbb{R}^{n \times n} \)。若 \( A \) 未化简，先用Householder变换化 \( A \) 为 \( H \)（成本 \( O(n^3) \)），但此为预处理步骤，本题假设已化简。步骤2：位移选取计算 \( H \) 右下角2×2子矩阵 \( M = \begin{bmatrix} h_ {n-1,n-1} & h_ {n-1,n} \\ h_ {n,n-1} & h_ {n,n} \end{bmatrix} \) 的特征值 \( \lambda_ 1, \lambda_ 2 \)。若 \( \lambda_ 1, \lambda_ 2 \) 为实数，可分别用作单步位移；若为共轭复数，则选作双步位移。双步位移策略总使用 \( \lambda_ 1, \lambda_ 2 \)（无论实或复），确保迭代实值性。步骤3：双步位移QR迭代子步骤3.1：计算初始向量计算向量 \( v = (H - \lambda_ 1 I)(H - \lambda_ 2 I)e_ 1 \)，其中 \( e_ 1 = [ 1, 0, \dots, 0 ]^T \)。由于 \( H \) 是上Hessenberg矩阵，\( v \) 仅前三个分量非零，计算仅需 \( O(1) \) 时间。子步骤3.2：生成Householder反射子构造Householder矩阵 \( P_ 0 \)，使 \( P_ 0 v \) 平行于 \( e_ 1 \)（即零化 \( v \) 的后两个分量）。应用 \( P_ 0 \) 到 \( H \)： \( H_ 1 = P_ 0 H P_ 0^T \)。因 \( P_ 0 \) 仅影响前3行/列，\( H_ 1 \) 保持Hessenberg形，但可能在第3行第1列引入非零元（称为"bulge"）。子步骤3.3：追 bulge 过程通过一系列Householder变换 \( P_ 1, P_ 2, \dots, P_ {n-2} \) 将 bulge 向下驱逐，恢复上Hessenberg形：对 \( k = 1 \) 到 \( n-2 \)：构造 \( P_ k \) 零化 \( H_ k \) 第 \( k+2 \) 行第 \( k \) 列的 bulge 元素。更新 \( H_ {k+1} = P_ k H_ k P_ k^T \)。最终得新矩阵 \( \tilde{H} = H_ {n-1} \)，仍为上Hessenberg形，完成一次双步迭代。步骤4：收敛判断与分解检查 \( \tilde{H} \) 的次对角线元素：若 \( |\tilde{h}_ {i+1,i}| < \epsilon \)（阈值，如 \( \epsilon = 10^{-15} \|H\| \)），视其为零，将 \( H \) 分割为块对角形式。对每个不可约子块（对角块为1×1或2×2）递归应用双步位移QR迭代，直到所有特征值分离。步骤5：特征值提取拟上三角矩阵的对角块：1×1块直接给出实特征值；2×2块的特征值为一对共轭复数，通过解二次方程求得。 3. 关键点说明避免复数运算：双步位移等价于连续两次单步位移 \( (H - \lambda_ 1 I)(H - \lambda_ 2 I) = H^2 - 2\text{Re}(\lambda_ 1)H + |\lambda_ 1|^2 I \)（当 \( \lambda_ 2 = \bar{\lambda}_ 1 \)），所有运算在实数域完成。隐式Q定理：追 bulge 过程等价于显式完成双步位移QR分解，但避免直接计算 \( H^2 \)，保证数值稳定性。收敛性：通常次对角线元素快速衰减，最终隔离特征值。 4. 示例考虑 \( H = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \end{bmatrix} \)：右下2×2块 \( M = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \)，特征值 \( \lambda_ {1,2} = 4.5 \pm 0.5i \)（共轭复数）。双步位移后，经3次Householder变换，次对角线元素减小，最终得拟上三角矩阵，特征值从2×2块提取。此算法是LAPACK等库中实矩阵特征值计算（如 dgeev ）的核心。