列生成算法在飞机排班问题中的应用示例

题目描述：假设某航空公司有10架飞机和15条航线需要安排。每条航线有特定的出发时间、到达时间和利润。每架飞机每天只能执行有限数量的航线，且航线之间需要满足最短转场时间要求。目标是制定一个飞机排班方案，使总利润最大化。

这个问题可以建模为一个大规模整数规划问题，其中每个变量代表一架飞机执行一个特定航线序列（路径）。由于可能的路径数量巨大，我们使用列生成算法进行求解。

解题步骤：

1. 问题建模

• 主问题：选择一组路径覆盖所有航线，满足飞机使用限制
• 约束：每架飞机最多执行一条路径，每条航线最多被一架飞机执行
• 目标：最大化总利润

2. 限制主问题
   初始时，我们为每架飞机生成简单的路径（如单条航线），构成一个可行的初始解。

3. 定价子问题
   对于每架飞机，求解一个最短路径问题（实际是最大利润路径）：

• 节点：各航线的出发事件和到达事件
• 弧：表示飞机执行完一条航线后可以接续执行另一条航线
• 资源约束：考虑转场时间、最大工作时长等
• 目标：寻找减少成本（即利润 - 对偶变量）最大的路径

4. 列生成过程
   a) 求解限制主问题的线性松弛，得到对偶变量值
   b) 对于每架飞机，使用标签算法求解定价子问题，寻找负减少成本（对最大化问题来说是正减少成本）的路径
   c) 将找到的有益路径加入限制主问题
   d) 重复直到找不到有益路径

5. 整数解获取
   当列生成过程收敛后，对最终的限制主问题施加整数约束，使用分支定界法求解整数规划。

关键点说明：

• 定价子问题本质是带资源约束的最短路径问题
• 转场时间约束通过弧的可行性判断实现
• 算法效率依赖于高效求解定价子问题的能力
• 实际应用中可能需要结合启发式方法加速求解

这个应用展示了列生成算法如何处理组合爆炸问题，通过动态生成有价值的变量来避免枚举所有可能解。