高斯-埃尔米特求积公式的权函数与正交多项式关系分析
题目描述
高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx\) 的积分，其核心思想是通过选取特定的节点（求积点）和权重，使公式具有最高代数精度。本题要求分析该公式中权函数 \(w(x) = e^{-x^2}\) 与埃尔米特正交多项式的关系，包括如何通过正交性确定节点和权重，并解释这种关系为何能保证求积公式的高精度特性。
解题过程
- 高斯型求积公式的基本思想
对于积分 \(I = \int_a^b w(x) f(x) \, dx\)，高斯求积法将其近似为：
\[ I \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i), \]
其中 \(x_i\) 是求积节点，\(w_i\) 是对应权重。若公式能精确积分所有次数不超过 \(2n-1\) 的多项式，则称其具有 最高代数精度。高斯型公式的节点恰为 \(n\) 次正交多项式的根。
- 埃尔米特多项式与权函数的关系
- 权函数 \(w(x) = e^{-x^2}\) 定义在区间 \((-\infty, \infty)\) 上，满足 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} x^k \, dx\) 有限（\(k \geq 0\)）。
- 埃尔米特多项式 \(H_n(x)\) 是该权函数下的正交多项式族，即：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} H_m(x) H_n(x) \, dx = 0 \quad (m \neq n). \]
具体地，$ H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} $，例如 $ H_0(x)=1, H_1(x)=2x, H_2(x)=4x^2-2 $。
- 正交性保证 \(H_n(x)\) 的 \(n\) 个实根均为单根，且位于 \((-\infty, \infty)\) 内。
- 节点与权重的确定
- 节点：取 \(H_n(x)\) 的 \(n\) 个根 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 作为求积节点。
- 权重：通过要求公式对次数低于 \(n\) 的多项式精确积分，解得权重为：
\[ w_i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [H_{n-1}(x_i)]^2}. \]
推导时利用拉格朗日插值多项式及正交性，可简化为 $ w_i = \frac{\int w(x) \, dx}{\prod_{j \neq i} (x_i - x_j)^2} $ 的离散形式。
- 为何能实现最高精度？
- 设 \(f(x)\) 为次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式，可分解为 \(f(x) = q(x) H_n(x) + r(x)\)，其中 \(q(x), r(x)\) 次数均 \(\leq n-1\)。
- 积分展开：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx = \int e^{-x^2} q(x) H_n(x) \, dx + \int e^{-x^2} r(x) \, dx. \]
由于 $ H_n(x) $ 与所有低次多项式正交，第一项积分为0；第二项中 $ r(x) $ 次数低，可由求积公式精确计算。
- 因此误差 \(E = \int e^{-x^2} f(x) dx - \sum w_i f(x_i) = 0\)，公式精度达 \(2n-1\) 次。
- 实际应用中的变换
若积分区间为 \((-\infty, \infty)\) 但权函数非 \(e^{-x^2}\)，需通过变量代换（如线性缩放）化为标准形式。例如，对 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos x \, dx\)，直接取 \(n=2\) 的节点 \(\pm 1/\sqrt{2}\) 和权重 \(w_1=w_2=\sqrt{\pi}/2\) 即可得近似值。
总结
高斯-埃尔米特公式的高精度源于权函数与埃尔米特多项式的正交性：节点选为正交多项式的根，权重由正交条件确定，从而保证对高次多项式的精确积分。这种关系是高斯求积法普遍性质的体现，适用于其他权函数（如勒让德、拉盖尔等）。