双对角化QR迭代算法计算矩阵奇异值 我将为您讲解双对角化QR迭代算法在计算矩阵奇异值中的应用。这个算法是计算矩阵奇异值分解（SVD）的核心数值方法。 问题描述 给定一个m×n的实数矩阵A，我们希望计算A的所有奇异值。奇异值是SVD中Σ矩阵的对角元素，满足A = UΣVᵀ，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。奇异值的平方等于AAᵀ或AᵀA的特征值。 算法步骤详解 第一步：矩阵双对角化预处理 首先将矩阵A通过正交变换转化为双对角形式： 使用Householder变换从左侧和右侧分别对A进行正交变换 得到双对角矩阵B = U₁ᵀAV₁，其中B只有主对角线和第一次对角线非零 这个步骤的复杂度为O(mn²)，但只需要执行一次 第二步：双对角矩阵的QR迭代 对双对角矩阵B进行隐式QR迭代： 位移策略选择 ： 使用Wilkinson位移或更精确的dqds位移 位移量σ通常取B的右下2×2子矩阵的特征值中更接近bₙₙ的那个 隐式QR步骤 ： 构造Givens旋转矩阵G₁，使得G₁(B² - σ²I)的第一列只有第一个元素非零 通过一系列Givens旋转将矩阵保持双对角形式 这个过程不需要显式形成B² - σ²I，提高了数值稳定性 第三步：收敛判断和收缩处理 检查次对角线元素是否可忽略（小于容差ε） 如果某个次对角线元素b_ {k,k+1} ≈ 0，可将矩阵分块为两个更小的双对角矩阵 对每个子矩阵递归应用QR迭代 当所有次对角线元素都可忽略时，主对角线元素即为奇异值 第四步：精度优化技巧 采用差分商dqd算法提高小奇异值的计算精度 使用相对精度收敛准则，而不是绝对精度 通过迭代 refinement 提高最终结果的精度 算法特点 时间复杂度：O(mn²)预处理 + O(n²)每次迭代 数值稳定性好，适合各种规模的矩阵 可以只计算奇异值，或同时计算奇异向量 特别适合大型稀疏矩阵的截断SVD计算 这个算法结合了双对角化的简化作用和QR迭代的高效性，是现代科学计算中计算矩阵奇异值的标准方法。