高斯-切比雪夫求积公式的权函数与正交多项式关系分析
字数 2265 2025-10-30 21:15:36

高斯-切比雪夫求积公式的权函数与正交多项式关系分析

题目描述
高斯-切比雪夫求积公式是一种针对积分区间 \([-1, 1]\)、权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 的数值积分方法。其核心思想是通过选择切比雪夫多项式 \(T_n(x)\) 的根作为求积节点，并搭配特定权重，使得公式具有最高代数精度（\(2n-1\) 次多项式精确成立）。本题要求分析权函数 \(w(x)\) 与切比雪夫正交多项式的关系，解释为何该公式能达到最优精度，并推导权重公式。

解题过程

步骤1: 理解权函数与正交多项式的关系

  1. 权函数的定义：
    在加权积分 \(\int_{-1}^1 f(x)w(x)dx\) 中，权函数 \(w(x)\) 需满足非负性且在区间内可积。对于高斯-切比雪夫公式，\(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在 \(x=\pm1\) 处有奇点，但积分收敛。

  2. 正交多项式的关键作用：
    若一组多项式 \(\{\phi_k(x)\}\) 满足正交性条件：

\[ \int_{-1}^1 \phi_m(x)\phi_n(x)w(x)dx = 0 \quad (m \neq n), \]

则其零点可作为高斯求积法的节点，使公式对不超过 \(2n-1\) 次的多项式精确积分。切比雪夫多项式 \(T_n(x)\) 正是关于权函数 \(w(x)\) 的正交多项式。

步骤2: 切比雪夫多项式的正交性验证

  1. 切比雪夫多项式的显式形式：
    \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\)，通过变量代换 \(x = \cos\theta\)（其中 \(\theta \in [0, \pi]\)），积分变为：

\[ \int_{-1}^1 T_m(x)T_n(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \int_0^\pi \cos(m\theta)\cos(n\theta)d\theta. \]

  1. 正交性证明：
    利用三角恒等式 \(\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]\)，可得：

\[ \int_0^\pi \cos(m\theta)\cos(n\theta)d\theta = \begin{cases} 0 & m \neq n, \\ \frac{\pi}{2} & m = n \neq 0, \\ \pi & m = n = 0. \end{cases} \]

这表明 \(T_n(x)\) 在权函数 \(w(x)\) 下满足加权正交性。

步骤3: 高斯求积节点的选取

  1. 节点的来源：
    高斯求积法要求节点为 \(n\) 次正交多项式 \(T_n(x)\) 的零点。由 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x) = 0\)，解得：

\[ x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right), \quad k=1,2,\dots,n. \]

这些节点在 \([-1, 1]\) 上非均匀分布，且避开奇点 \(x=\pm1\)。

  1. 为什么节点能优化精度：
    由于正交多项式的零点作为节点时，求积公式可精确积分所有不超过 \(2n-1\) 次的多项式。这是因为任意次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式可表示为 \(T_n(x)\) 的商与余项组合，利用正交性消除误差。

步骤4: 权重的推导

  1. 权重公式的通用形式：
    高斯求积的权重 \(A_k\) 可通过拉格朗日插值多项式推导。对于切比雪夫节点，权重具有对称性且闭合形式：

\[ A_k = \frac{\pi}{n} \quad (\text{所有权重相同}). \]

  1. 推导过程：
    • 考虑积分 \(\int_{-1}^1 \frac{L_j(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx\)，其中 \(L_j(x)\) 是关于节点 \(x_k\) 的拉格朗日基函数。
    • 通过变量代换 \(x=\cos\theta\)，基函数转化为三角函数形式。利用正交性可证明所有 \(A_k\) 相等。
    • 直接计算常数函数 \(f(x)=1\) 的积分：

\[ \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi = \sum_{k=1}^n A_k \cdot 1 \implies A_k = \frac{\pi}{n}. \]

步骤5: 公式的完整形式与误差分析

  1. 求积公式：

\[ \int_{-1}^1 \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\cos\frac{2k-1}{2n}\pi\right). \]

  1. 误差项：
    高斯-切比雪夫公式的误差与 \(f(x)\) 的 \(2n\) 阶导数相关。对于光滑函数，误差以 \(O\left(\frac{1}{2^{2n}}\right)\) 速率衰减。

关键总结

  • 权函数 \(w(x)\) 决定了正交多项式（切比雪夫多项式）的形式。
  • 正交多项式的零点作为节点，确保了求积公式的最高代数精度。
  • 权重均匀性源于三角代换后的积分对称性。
  • 该公式特别适用于被积函数包含 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 因子的积分。
高斯-切比雪夫求积公式的权函数与正交多项式关系分析 题目描述 高斯-切比雪夫求积公式是一种针对积分区间 \([ -1, 1]\)、权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 的数值积分方法。其核心思想是通过选择切比雪夫多项式 \(T_ n(x)\) 的根作为求积节点，并搭配特定权重，使得公式具有最高代数精度（\(2n-1\) 次多项式精确成立）。本题要求分析权函数 \(w(x)\) 与切比雪夫正交多项式的关系，解释为何该公式能达到最优精度，并推导权重公式。 解题过程 步骤1: 理解权函数与正交多项式的关系 权函数的定义 ： 在加权积分 \(\int_ {-1}^1 f(x)w(x)dx\) 中，权函数 \(w(x)\) 需满足非负性且在区间内可积。对于高斯-切比雪夫公式，\(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在 \(x=\pm1\) 处有奇点，但积分收敛。 正交多项式的关键作用 ： 若一组多项式 \(\{\phi_ k(x)\}\) 满足正交性条件： \[ \int_ {-1}^1 \phi_ m(x)\phi_ n(x)w(x)dx = 0 \quad (m \neq n), \] 则其零点可作为高斯求积法的节点，使公式对不超过 \(2n-1\) 次的多项式精确积分。切比雪夫多项式 \(T_ n(x)\) 正是关于权函数 \(w(x)\) 的正交多项式。 步骤2: 切比雪夫多项式的正交性验证 切比雪夫多项式的显式形式 ： \(T_ n(x) = \cos(n \arccos x)\)，通过变量代换 \(x = \cos\theta\)（其中 \(\theta \in [ 0, \pi ]\)），积分变为： \[ \int_ {-1}^1 T_ m(x)T_ n(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \int_ 0^\pi \cos(m\theta)\cos(n\theta)d\theta. \] 正交性证明 ： 利用三角恒等式 \(\cos A \cos B = \frac{1}{2}[ \cos(A+B) + \cos(A-B) ]\)，可得： \[ \int_ 0^\pi \cos(m\theta)\cos(n\theta)d\theta = \begin{cases} 0 & m \neq n, \\ \frac{\pi}{2} & m = n \neq 0, \\ \pi & m = n = 0. \end{cases} \] 这表明 \(T_ n(x)\) 在权函数 \(w(x)\) 下满足加权正交性。 步骤3: 高斯求积节点的选取 节点的来源 ： 高斯求积法要求节点为 \(n\) 次正交多项式 \(T_ n(x)\) 的零点。由 \(T_ n(x) = \cos(n \arccos x) = 0\)，解得： \[ x_ k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right), \quad k=1,2,\dots,n. \] 这些节点在 \([ -1, 1 ]\) 上非均匀分布，且避开奇点 \(x=\pm1\)。 为什么节点能优化精度 ： 由于正交多项式的零点作为节点时，求积公式可精确积分所有不超过 \(2n-1\) 次的多项式。这是因为任意次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式可表示为 \(T_ n(x)\) 的商与余项组合，利用正交性消除误差。 步骤4: 权重的推导 权重公式的通用形式 ： 高斯求积的权重 \(A_ k\) 可通过拉格朗日插值多项式推导。对于切比雪夫节点，权重具有对称性且闭合形式： \[ A_ k = \frac{\pi}{n} \quad (\text{所有权重相同}). \] 推导过程 ： 考虑积分 \(\int_ {-1}^1 \frac{L_ j(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx\)，其中 \(L_ j(x)\) 是关于节点 \(x_ k\) 的拉格朗日基函数。 通过变量代换 \(x=\cos\theta\)，基函数转化为三角函数形式。利用正交性可证明所有 \(A_ k\) 相等。 直接计算常数函数 \(f(x)=1\) 的积分： \[ \int_ {-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi = \sum_ {k=1}^n A_ k \cdot 1 \implies A_ k = \frac{\pi}{n}. \] 步骤5: 公式的完整形式与误差分析 求积公式 ： \[ \int_ {-1}^1 \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^n f\left(\cos\frac{2k-1}{2n}\pi\right). \] 误差项 ： 高斯-切比雪夫公式的误差与 \(f(x)\) 的 \(2n\) 阶导数相关。对于光滑函数，误差以 \(O\left(\frac{1}{2^{2n}}\right)\) 速率衰减。 关键总结 权函数 \(w(x)\) 决定了正交多项式（切比雪夫多项式）的形式。 正交多项式的零点作为节点，确保了求积公式的最高代数精度。 权重均匀性源于三角代换后的积分对称性。 该公式特别适用于被积函数包含 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 因子的积分。