奇怪的打印机 II（进阶版）

题目描述

有一个奇怪的打印机，它打印字符串的规则如下：

• 每次操作，打印机可以打印任意长度的相同字符序列
• 打印的新字符会覆盖之前同一位置上已经存在的字符
• 打印机最初有一个空白的打印区域（可以看作是无限长的空白字符串）
• 给定目标字符串s，求打印出目标字符串所需的最少操作次数

例如，对于字符串 "abacaba"：

• 最少需要4次操作：先打印aaaaaaa，然后打印abbbbba，再打印abacaca，最后打印abacaba

解题思路

这个问题是"奇怪的打印机"问题的进阶版本，需要更精细的区间划分策略。我们采用区间动态规划来解决。

详细解题步骤

步骤1：定义状态
定义dp[i][j]表示打印出子串s[i...j]所需的最少操作次数。

步骤2：状态转移分析
考虑区间[i, j]的打印策略：

1. 基础情况：当i = j时，dp[i][j] = 1（只需要一次操作打印单个字符）

2. 一般情况：对于区间[i, j]，有两种策略：

   • 策略A：将s[i...j]分成两部分[i, k]和[k+1, j]分别打印
   • 策略B：如果s[i] = s[k]（其中i < k ≤ j），可以先打印整个区间为s[i]字符，然后再处理内部细节

步骤3：状态转移方程

dp[i][j] = min( dp[i][k] + dp[k+1][j] ) 对于所有i ≤ k < j

如果s[i] = s[j]，有更优策略：

dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1])

解释：当首尾字符相同时，可以在打印首字符时顺便打印尾字符。

更精细的优化：
如果存在k使得s[i] = s[k]，那么：

dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k-1] + dp[k][j] - 1)

因为s[i]和s[k]相同，可以在同一次操作中打印。

步骤4：完整算法实现

def strangePrinterII(s):
    if not s:
        return 0
    
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    
    # 初始化对角线
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1
    
    # 按区间长度从小到大计算
    for length in range(2, n + 1):
        for i in range(n - length + 1):
            j = i + length - 1
            
            # 初始化为分割策略的最小值
            dp[i][j] = float('inf')
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j])
            
            # 如果首尾字符相同，有更优策略
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1])
            
            # 寻找中间相同字符的优化机会
            for k in range(i + 1, j + 1):
                if s[i] == s[k]:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k-1] + (dp[k][j] if k <= j else 0))
    
    return dp[0][n-1]

步骤5：示例分析

以字符串 "abacaba" 为例：

1. 初始状态：所有长度为1的子串需要1次操作
2. 计算"ab"：dp[0][1] = min(dp[0][0]+dp[1][1]) = 2
3. 计算"aba"：
   • 分割策略：min("a"+"ba", "ab"+"a") = min(1+2, 2+1) = 3
   • 优化策略：s[0]='a'=s[2]，dp[0][2] = dp[0][1] = 2
4. 逐步计算得到最终结果：dp[0][6] = 4

步骤6：算法优化

可以进一步优化，当s[i] = s[k]时：

dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k-1] + dp[k+1][j])

因为s[i]和s[k]可以在同一次操作中完成。

时间复杂度：O(n³)，空间复杂度：O(n²)

这个算法通过精细的区间划分和字符匹配优化，有效减少了打印操作次数，是区间动态规划的经典应用。