这相当于先应用一种分裂进行“预测”，再用另一种分裂“校正”。

双分裂迭代法解线性方程组 题目描述 双分裂迭代法是一种求解线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 的迭代算法，其中 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是非奇异的系数矩阵。该方法通过将矩阵 \( A \) 分解为两个不同的分裂形式（例如 \( A = M_ 1 - N_ 1 = M_ 2 - N_ 2 \)），结合两种分裂的迭代格式，加速收敛。典型应用包括处理大型稀疏矩阵，尤其当单一分裂迭代法（如Jacobi或Gauss-Seidel）收敛较慢时。 解题过程 矩阵分裂的基本思想 将 \( A \) 分解为 \( A = M - N \)，其中 \( M \) 可逆且易于求逆（如对角或三角矩阵）。原始方程可改写为迭代格式： \[ \mathbf{x}^{(k+1)} = M^{-1}N\mathbf{x}^{(k)} + M^{-1}\mathbf{b}. \] 例如，在Jacobi迭代中，\( M \) 为 \( A \) 的对角部分。 双分裂的构建 选择两种不同的分裂： \[ A = M_ 1 - N_ 1 = M_ 2 - N_ 2, \] 并组合它们的迭代格式。一种常见策略是交替执行两种分裂的迭代步骤，或通过参数优化加权组合。 迭代格式设计 以并行双分裂为例： 步骤1 ：从初始猜测 \( \mathbf{x}^{(0)} \) 开始。 步骤2 ：同时计算两个分裂的迭代结果： \[ \mathbf{x}^{(k+1/2)} = M_ 1^{-1}N_ 1\mathbf{x}^{(k)} + M_ 1^{-1}\mathbf{b}, \] \[ \mathbf{x}^{(k+1)} = M_ 2^{-1}N_ 2\mathbf{x}^{(k+1/2)} + M_ 2^{-1}\mathbf{b}. \] 这相当于先应用一种分裂进行“预测”，再用另一种分裂“校正”。 收敛性条件 迭代收敛的充分条件是两种分裂的迭代矩阵 \( T_ 1 = M_ 1^{-1}N_ 1 \) 和 \( T_ 2 = M_ 2^{-1}N_ 2 \) 的谱半径满足 \( \rho(T_ 2 T_ 1) < 1 \)。若 \( M_ 1 \) 和 \( M_ 2 \) 对称正定，且分裂满足某些条件（如 \( M_ 1 + M_ 2 - A \) 正定），可保证收敛。 参数优化（可选） 引入松弛参数 \( \omega \) 加速收敛，例如将迭代格式改为： \[ \mathbf{x}^{(k+1)} = \omega \left( M_ 2^{-1}N_ 2\mathbf{x}^{(k+1/2)} + M_ 2^{-1}\mathbf{b} \right) + (1-\omega)\mathbf{x}^{(k)}. \] 最优 \( \omega \) 需通过特征值分析确定。 算法步骤总结 输入：\( A, \mathbf{b} \)，初始解 \( \mathbf{x}^{(0)} \)，容差 \( \epsilon \)，最大迭代次数 \( K \)。 重复直到 \( \|\mathbf{r}^{(k)}\| < \epsilon \) 或 \( k > K \)（残差 \( \mathbf{r}^{(k)} = \mathbf{b} - A\mathbf{x}^{(k)} \)）： 计算 \( \mathbf{x}^{(k+1/2)} = M_ 1^{-1}(N_ 1\mathbf{x}^{(k)} + \mathbf{b}) \)。 计算 \( \mathbf{x}^{(k+1)} = M_ 2^{-1}(N_ 2\mathbf{x}^{(k+1/2)} + \mathbf{b}) \)。 更新残差。 输出：近似解 \( \mathbf{x}^{(k)} \)。 关键点 双分裂通过组合不同分裂的优势，可能改善收敛速度，尤其适用于病态或特殊结构矩阵。 实际应用中需平衡计算成本（需两次求解 \( M_ i^{-1} \)）与收敛收益。