高斯-切比雪夫求积公式在奇异积分中的应用
字数 1854 2025-10-30 21:15:36

高斯-切比雪夫求积公式在奇异积分中的应用

题目描述
考虑计算积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)，其中 \(f(x)\) 是区间 \([-1,1]\) 上的光滑函数。该积分在端点 \(x = \pm 1\) 处具有 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 的奇异性。直接使用标准数值积分方法（如牛顿-科特斯公式）可能因奇异性导致精度下降。要求利用高斯-切比雪夫求积公式高效计算此类积分，并解释其处理奇异性的原理。

解题过程

  1. 问题分析

    • 积分中的权重函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 在端点处趋于无穷，属于奇异积分。
    • 若 \(f(x)\) 足够光滑（如连续可导），高斯-切比雪夫求积公式能通过特定节点和权重精确处理奇异性。

  2. 高斯-切比雪夫公式的构造

    • 公式形式：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k f(x_k) \]

  • 节点 \(x_k\) 是 \(n\) 阶切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的根：

\[ x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k=1,2,\dots,n \]

  • 权重全部相等：

\[ w_k = \frac{\pi}{n} \]

  • 该公式具有 \(2n-1\) 次代数精度，即对次数不高于 \(2n-1\) 的多项式 \(f(x)\) 能精确积分。

  1. 处理奇异性的原理

    • 关键点：公式的权重函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 被隐式包含在节点和权重的设计中。
    • 节点 \(x_k\) 在端点处分布更密集（余弦函数变换导致），自然适应奇异性。
    • 权重 \(w_k\) 的推导源于正交性：切比雪夫多项式在权重 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 下正交，使得公式能精确积分高阶多项式。

  2. 计算步骤示例
    以 \(n=3\) 计算 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 为例：

    • 步骤1：计算节点

\[ x_1 = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0, \quad x_3 = \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

  • 步骤2：权重 \(w_k = \pi/3\)。
  • 步骤3：计算函数值 \(f(x_k) = \cos(x_k)\)：

\[ f(x_1) \approx 0.866, \quad f(x_2) = 1, \quad f(x_3) \approx 0.866 \]

  • 步骤4：近似积分

\[ I \approx \frac{\pi}{3} (0.866 + 1 + 0.866) \approx 2.819 \]

  • 对比解析解 \(I = \pi J_0(1) \approx 2.403\)（\(J_0\) 是贝塞尔函数），可见 \(n=3\) 时已有较好近似，增大 \(n\) 可提升精度。

  1. 误差与收敛性

    • 误差公式：若 \(f(x)\) 是 \(2n\) 次连续可导，误差以 \(O\left( \frac{1}{2^{2n}} \right)\) 速度下降。
    • 奇异性被权重函数吸收，因此收敛速度仅取决于 \(f(x)\) 的光滑性。

  2. 优点与适用场景

    • 优点：无需显式处理奇异性，节点和权重有显式表达式，计算高效。
    • 适用：任何形式为 \(\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 的积分，或可通过变量变换化为该形式的积分（如 \(\int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \, d\theta\)）。

通过以上步骤，高斯-切比雪夫公式将奇异积分转化为加权求和，有效规避了端点奇异性带来的计算困难。

高斯-切比雪夫求积公式在奇异积分中的应用 题目描述 考虑计算积分 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)，其中 \( f(x) \) 是区间 \([ -1,1 ]\) 上的光滑函数。该积分在端点 \( x = \pm 1 \) 处具有 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 的奇异性。直接使用标准数值积分方法（如牛顿-科特斯公式）可能因奇异性导致精度下降。要求利用高斯-切比雪夫求积公式高效计算此类积分，并解释其处理奇异性的原理。 解题过程 问题分析 积分中的权重函数 \( w(x) = 1/\sqrt{1-x^2} \) 在端点处趋于无穷，属于奇异积分。 若 \( f(x) \) 足够光滑（如连续可导），高斯-切比雪夫求积公式能通过特定节点和权重精确处理奇异性。 高斯-切比雪夫公式的构造 公式形式： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(x_ k) \] 节点 \( x_ k \) 是 \( n \) 阶切比雪夫多项式 \( T_ n(x) = \cos(n \arccos x) \) 的根： \[ x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k=1,2,\dots,n \] 权重全部相等： \[ w_ k = \frac{\pi}{n} \] 该公式具有 \( 2n-1 \) 次代数精度，即对次数不高于 \( 2n-1 \) 的多项式 \( f(x) \) 能精确积分。 处理奇异性的原理 关键点：公式的权重函数 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 被隐式包含在节点和权重的设计中。 节点 \( x_ k \) 在端点处分布更密集（余弦函数变换导致），自然适应奇异性。 权重 \( w_ k \) 的推导源于正交性：切比雪夫多项式在权重 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 下正交，使得公式能精确积分高阶多项式。 计算步骤示例 以 \( n=3 \) 计算 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 为例： 步骤1：计算节点 \[ x_ 1 = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_ 2 = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0, \quad x_ 3 = \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] 步骤2：权重 \( w_ k = \pi/3 \)。 步骤3：计算函数值 \( f(x_ k) = \cos(x_ k) \)： \[ f(x_ 1) \approx 0.866, \quad f(x_ 2) = 1, \quad f(x_ 3) \approx 0.866 \] 步骤4：近似积分 \[ I \approx \frac{\pi}{3} (0.866 + 1 + 0.866) \approx 2.819 \] 对比解析解 \( I = \pi J_ 0(1) \approx 2.403 \)（\( J_ 0 \) 是贝塞尔函数），可见 \( n=3 \) 时已有较好近似，增大 \( n \) 可提升精度。 误差与收敛性 误差公式：若 \( f(x) \) 是 \( 2n \) 次连续可导，误差以 \( O\left( \frac{1}{2^{2n}} \right) \) 速度下降。 奇异性被权重函数吸收，因此收敛速度仅取决于 \( f(x) \) 的光滑性。 优点与适用场景 优点：无需显式处理奇异性，节点和权重有显式表达式，计算高效。 适用：任何形式为 \( \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的积分，或可通过变量变换化为该形式的积分（如 \( \int_ {0}^{\pi} f(\cos\theta) \, d\theta \)）。 通过以上步骤，高斯-切比雪夫公式将奇异积分转化为加权求和，有效规避了端点奇异性带来的计算困难。