列生成算法在钢铁生产计划问题中的应用示例

字数 2961 2025-10-30 21:15:36

列生成算法在钢铁生产计划问题中的应用示例

我将为您详细讲解列生成算法在钢铁生产计划问题中的应用。这是一个经典的组合优化问题，列生成算法能有效处理其中的大规模整数规划问题。

问题描述

某钢铁厂生产多种规格的钢板（如不同宽度、厚度），客户订单要求各种宽度规格的钢卷。原材料是固定宽度的母卷（如宽度2000mm），需要通过切割工艺将母卷分割成客户需要的宽度。

目标：在满足所有客户订单需求的前提下，最小化原材料消耗（或最小化使用的母卷数量）。

数学模型建立

设：

\(W\)：母卷宽度（2000mm）
\(m\)：需要生产的钢卷规格数量
\(w_i\)：第\(i\)种规格的宽度（\(i = 1,2,...,m\)）
\(d_i\)：第\(i\)种规格的需求量
切割模式：一种将母卷分割成若干小卷的方案

设\(a_{ij}\)为第\(j\)种切割模式中规格\(i\)的切割数量，\(x_j\)为使用第\(j\)种切割模式的次数。

模型：

\[\begin{align*} \min \quad & \sum_{j=1}^{n} x_j \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \geq d_i, \quad i=1,...,m \\ & x_j \geq 0 \text{且为整数} \end{align*} \]

问题难点
切割模式的数量\(n\)可能非常巨大（组合爆炸），无法枚举所有模式。

列生成算法求解过程

步骤1：构造限制主问题（RMP）
初始时只包含少量可行的切割模式（如每种规格单独切割的模式）：

\[\begin{align*} \min \quad & \sum_{j=1}^{k} x_j \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{j=1}^{k} a_{ij}x_j \geq d_i, \quad i=1,...,m \\ & x_j \geq 0 \end{align*} \]

注意：这里先求解线性松弛问题，\(x_j\)可为分数。

步骤2：求解RMP的对偶问题
RMP的对偶问题为：

\[\begin{align*} \max \quad & \sum_{i=1}^{m} d_i\pi_i \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{i=1}^{m} a_{ij}\pi_i \leq 1, \quad j=1,...,k \\ & \pi_i \geq 0 \end{align*} \]

其中\(\pi_i\)是对偶变量。

步骤3：定价子问题（寻找改进列）
需要找到违反对偶约束的新列，即求解：

\[\max \quad & \sum_{i=1}^{m} \pi_i a_i \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{i=1}^{m} w_i a_i \leq W \\ & a_i \geq 0 \text{且为整数} \]

这是一个背包问题，目标是找到在不超过母卷宽度的条件下，使"价值"（对偶变量加权和）最大的切割组合。

步骤4：判断收敛与迭代

如果子问题的最优值≤1：当前RMP已是最优解，算法终止
如果子问题的最优值>1：将对应的新列加入RMP，返回步骤1

具体数值示例

假设：

母卷宽度\( W = 2000\)mm
需求：规格1（宽度600mm，需求20卷）、规格2（宽度800mm，需求15卷）、规格3（宽度1100mm，需求10卷）

迭代过程

迭代1：初始RMP
初始模式：每种规格单独切割
模式1：[1,0,0]（切1个600mm）
模式2：[0,1,0]（切1个800mm）
模式3：[0,0,1]（切1个1100mm）

RMP：

\[\begin{align*} \min \quad & x_1 + x_2 + x_3 \\ \text{s.t.} \quad & 1x_1 + 0x_2 + 0x_3 \geq 20 \\ & 0x_1 + 1x_2 + 0x_3 \geq 15 \\ & 0x_1 + 0x_2 + 1x_3 \geq 10 \\ & x_1,x_2,x_3 \geq 0 \end{align*} \]

解得：\(x_1 = 20, x_2 = 15, x_3 = 10\)，目标值=45
对偶变量：\(\pi_1 = 1, \pi_2 = 1, \pi_3 = 1\)

迭代1：定价子问题
求解：\(\max 1\times a_1 + 1\times a_2 + 1\times a_3\)
约束：\(600a_1 + 800a_2 + 1100a_3 \leq 2000\)

最优解：[2,1,0]（切2个600mm + 1个800mm），总价值=3 > 1
新列：[2,1,0]加入RMP

迭代2：更新RMP
RMP：

\[\begin{align*} \min \quad & x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \\ \text{s.t.} \quad & 1x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 2x_4 \geq 20 \\ & 0x_1 + 1x_2 + 0x_3 + 1x_4 \geq 15 \\ & 0x_1 + 0x_2 + 1x_3 + 0x_4 \geq 10 \\ & x_1,x_2,x_3,x_4 \geq 0 \end{align*} \]

解得：\(x_1 = 0, x_2 = 5, x_3 = 10, x_4 = 10\)，目标值=25
对偶变量：\(\pi_1 = 0.5, \pi_2 = 0.5, \pi_3 = 1\)

迭代2：定价子问题
求解：\(\max 0.5a_1 + 0.5a_2 + 1a_3\)
约束：\(600a_1 + 800a_2 + 1100a_3 \leq 2000\)

最优解：[0,0,1]（切1个1100mm），但价值=1 ≤ 1
尝试其他组合：[1,1,0]价值=1，[0,2,0]价值=1
所有模式价值均≤1，算法终止

最终求解
线性松弛最优解：使用模式[0,2,0]？重新检查...
实际上最优解是：\( x_4 = 10\)（模式[2,1,0]），\( x_3 = 10\)（模式[0,0,1]），\( x_2 = 5\)（模式[0,1,0]）
总母卷数=25卷

整数解处理
由于25已是整数解，正好满足整数要求。如果不是整数，需要对线性松弛解进行取整或使用分支定界法。

算法优势

避免枚举所有可能的切割模式
每次迭代只解决小规模问题和一个背包问题
特别适合模式数量巨大的切割问题

这个示例展示了列生成算法如何有效解决大规模切割库存问题，通过动态生成有价值的列来逼近最优解。

列生成算法在钢铁生产计划问题中的应用示例我将为您详细讲解列生成算法在钢铁生产计划问题中的应用。这是一个经典的组合优化问题，列生成算法能有效处理其中的大规模整数规划问题。问题描述某钢铁厂生产多种规格的钢板（如不同宽度、厚度），客户订单要求各种宽度规格的钢卷。原材料是固定宽度的母卷（如宽度2000mm），需要通过切割工艺将母卷分割成客户需要的宽度。目标：在满足所有客户订单需求的前提下，最小化原材料消耗（或最小化使用的母卷数量）。数学模型建立设： \( W \)：母卷宽度（2000mm） \( m \)：需要生产的钢卷规格数量 \( w_ i \)：第\( i \)种规格的宽度（\( i = 1,2,...,m \)） \( d_ i \)：第\( i \)种规格的需求量切割模式：一种将母卷分割成若干小卷的方案设\( a_ {ij} \)为第\( j \)种切割模式中规格\( i \)的切割数量，\( x_ j \)为使用第\( j \)种切割模式的次数。模型： \[ \begin{align* } \min \quad & \sum_ {j=1}^{n} x_ j \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {j=1}^{n} a_ {ij}x_ j \geq d_ i, \quad i=1,...,m \\ & x_ j \geq 0 \text{且为整数} \end{align* } \] 问题难点切割模式的数量\( n \)可能非常巨大（组合爆炸），无法枚举所有模式。列生成算法求解过程步骤1：构造限制主问题（RMP）初始时只包含少量可行的切割模式（如每种规格单独切割的模式）： \[ \begin{align* } \min \quad & \sum_ {j=1}^{k} x_ j \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {j=1}^{k} a_ {ij}x_ j \geq d_ i, \quad i=1,...,m \\ & x_ j \geq 0 \end{align* } \] 注意：这里先求解线性松弛问题，\( x_ j \)可为分数。步骤2：求解RMP的对偶问题 RMP的对偶问题为： \[ \begin{align* } \max \quad & \sum_ {i=1}^{m} d_ i\pi_ i \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {i=1}^{m} a_ {ij}\pi_ i \leq 1, \quad j=1,...,k \\ & \pi_ i \geq 0 \end{align* } \] 其中\( \pi_ i \)是对偶变量。步骤3：定价子问题（寻找改进列）需要找到违反对偶约束的新列，即求解： \[ \max \quad & \sum_ {i=1}^{m} \pi_ i a_ i \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {i=1}^{m} w_ i a_ i \leq W \\ & a_ i \geq 0 \text{且为整数} \] 这是一个背包问题，目标是找到在不超过母卷宽度的条件下，使"价值"（对偶变量加权和）最大的切割组合。步骤4：判断收敛与迭代如果子问题的最优值≤1：当前RMP已是最优解，算法终止如果子问题的最优值>1：将对应的新列加入RMP，返回步骤1 具体数值示例假设：母卷宽度\( W = 2000\)mm 需求：规格1（宽度600mm，需求20卷）、规格2（宽度800mm，需求15卷）、规格3（宽度1100mm，需求10卷）迭代过程迭代1：初始RMP 初始模式：每种规格单独切割模式1：[ 1,0,0 ]（切1个600mm）模式2：[ 0,1,0 ]（切1个800mm）模式3：[ 0,0,1 ]（切1个1100mm） RMP： \[ \begin{align* } \min \quad & x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 \\ \text{s.t.} \quad & 1x_ 1 + 0x_ 2 + 0x_ 3 \geq 20 \\ & 0x_ 1 + 1x_ 2 + 0x_ 3 \geq 15 \\ & 0x_ 1 + 0x_ 2 + 1x_ 3 \geq 10 \\ & x_ 1,x_ 2,x_ 3 \geq 0 \end{align* } \] 解得：\( x_ 1 = 20, x_ 2 = 15, x_ 3 = 10 \)，目标值=45 对偶变量：\( \pi_ 1 = 1, \pi_ 2 = 1, \pi_ 3 = 1 \) 迭代1：定价子问题求解：\(\max 1\times a_ 1 + 1\times a_ 2 + 1\times a_ 3\) 约束：\(600a_ 1 + 800a_ 2 + 1100a_ 3 \leq 2000\) 最优解：[ 2,1,0 ]（切2个600mm + 1个800mm），总价值=3 > 1 新列：[ 2,1,0 ]加入RMP 迭代2：更新RMP RMP： \[ \begin{align* } \min \quad & x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 + x_ 4 \\ \text{s.t.} \quad & 1x_ 1 + 0x_ 2 + 0x_ 3 + 2x_ 4 \geq 20 \\ & 0x_ 1 + 1x_ 2 + 0x_ 3 + 1x_ 4 \geq 15 \\ & 0x_ 1 + 0x_ 2 + 1x_ 3 + 0x_ 4 \geq 10 \\ & x_ 1,x_ 2,x_ 3,x_ 4 \geq 0 \end{align* } \] 解得：\( x_ 1 = 0, x_ 2 = 5, x_ 3 = 10, x_ 4 = 10 \)，目标值=25 对偶变量：\( \pi_ 1 = 0.5, \pi_ 2 = 0.5, \pi_ 3 = 1 \) 迭代2：定价子问题求解：\(\max 0.5a_ 1 + 0.5a_ 2 + 1a_ 3\) 约束：\(600a_ 1 + 800a_ 2 + 1100a_ 3 \leq 2000\) 最优解：[ 0,0,1 ]（切1个1100mm），但价值=1 ≤ 1 尝试其他组合：[ 1,1,0]价值=1，[ 0,2,0 ]价值=1 所有模式价值均≤1，算法终止最终求解线性松弛最优解：使用模式[ 0,2,0 ]？重新检查... 实际上最优解是：\( x_ 4 = 10\)（模式[ 2,1,0]），\( x_ 3 = 10\)（模式[ 0,0,1]），\( x_ 2 = 5\)（模式[ 0,1,0 ]）总母卷数=25卷整数解处理由于25已是整数解，正好满足整数要求。如果不是整数，需要对线性松弛解进行取整或使用分支定界法。算法优势避免枚举所有可能的切割模式每次迭代只解决小规模问题和一个背包问题特别适合模式数量巨大的切割问题这个示例展示了列生成算法如何有效解决大规模切割库存问题，通过动态生成有价值的列来逼近最优解。