非线性规划中的投影梯度法基础题
字数 1695 2025-10-30 17:43:25

非线性规划中的投影梯度法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2)^2\)
约束条件为：
\(x_1 + x_2 \leq 2\)
\(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)
初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，容忍误差 \(\epsilon = 0.01\)。要求使用投影梯度法求解该问题。

解题过程
投影梯度法用于求解带约束的优化问题，其核心思想是：在每一步迭代中，先沿负梯度方向移动，再将结果投影到可行域上，确保解始终满足约束。以下是详细步骤：

  1. 问题分析
    • 目标函数 \(f(x)\) 是凸二次函数，可行域是由线性不等式定义的凸集（一个三角形区域）。
    • 投影梯度法的迭代公式为：

\[ x^{(k+1)} = P_\Omega \left( x^{(k)} - \alpha_k \nabla f(x^{(k)}) \right) \]

 其中 $ P_\Omega $ 是投影算子，将点映射到可行域 $ \Omega $；$ \alpha_k $ 是步长，可通过线搜索确定。
  1. 计算梯度
    梯度为：

\[ \nabla f(x) = [2(x_1 - 1), 2(x_2 - 2)] \]

在初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\) 处，梯度为 \(\nabla f(0, 0) = (-2, -4)\)。

  1. 确定步长
    采用恒定步长 \(\alpha = 0.1\)（为简化计算，实际中常用线搜索）。
    计算未投影的临时点：

\[ z^{(1)} = x^{(0)} - \alpha \nabla f(x^{(0)}) = (0, 0) - 0.1 \cdot (-2, -4) = (0.2, 0.4) \]

  1. 投影到可行域
    可行域 \(\Omega = \{ x \mid x_1 + x_2 \leq 2, x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \}\)。
    投影操作 \(P_\Omega(z)\) 等价于求解：

\[ \min_{y \in \Omega} \| y - z \|^2 \]

对于点 \(z^{(1)} = (0.2, 0.4)\)：

  • 检查约束：\(0.2 + 0.4 = 0.6 \leq 2\)，且坐标非负，因此 \(z^{(1)}\) 已在可行域内，投影后 \(x^{(1)} = (0.2, 0.4)\)。

  1. 迭代与收敛判断
    重复上述过程：

    • 迭代 1：
      梯度 \(\nabla f(0.2, 0.4) = (-1.6, -3.2)\)
      临时点 \(z^{(2)} = (0.2, 0.4) - 0.1 \cdot (-1.6, -3.2) = (0.36, 0.72)\)
      投影：约束 \(0.36 + 0.72 = 1.08 \leq 2\)，无需调整，\(x^{(2)} = (0.36, 0.72)\)。
    • 迭代 2：
      梯度 \((-1.28, -2.56)\)，临时点 \((0.488, 0.976)\)，投影后仍可行，\(x^{(3)} = (0.488, 0.976)\)。
      继续迭代直至连续两步的变化量 \(\| x^{(k+1)} - x^{(k)} \| < \epsilon\)。
      最终收敛到近似解 \(x^* \approx (0.5, 1.5)\)，此时约束 \(x_1 + x_2 = 2\) 被激活（紧约束）。

  2. 结果验证
    在 \(x^* = (0.5, 1.5)\) 处，目标函数值 \(f(x^*) = 0.5\)，且梯度方向与紧约束的法向量平行（库恩-塔克条件成立）。

关键点总结

  • 投影梯度法通过梯度下降和投影的交替操作处理约束。
  • 投影步骤需高效实现（本例中可行域简单，可直接判断）。
  • 步长选择影响收敛速度，自适应线搜索可优化性能。
非线性规划中的投影梯度法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 1)^2 + (x_ 2 - 2)^2 \) 约束条件为： \( x_ 1 + x_ 2 \leq 2 \) \( x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \) 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，容忍误差 \( \epsilon = 0.01 \)。要求使用投影梯度法求解该问题。 解题过程 投影梯度法用于求解带约束的优化问题，其核心思想是：在每一步迭代中，先沿负梯度方向移动，再将结果投影到可行域上，确保解始终满足约束。以下是详细步骤： 问题分析 目标函数 \( f(x) \) 是凸二次函数，可行域是由线性不等式定义的凸集（一个三角形区域）。 投影梯度法的迭代公式为： \[ x^{(k+1)} = P_ \Omega \left( x^{(k)} - \alpha_ k \nabla f(x^{(k)}) \right) \] 其中 \( P_ \Omega \) 是投影算子，将点映射到可行域 \( \Omega \)；\( \alpha_ k \) 是步长，可通过线搜索确定。 计算梯度 梯度为： \[ \nabla f(x) = [ 2(x_ 1 - 1), 2(x_ 2 - 2) ] \] 在初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \) 处，梯度为 \( \nabla f(0, 0) = (-2, -4) \)。 确定步长 采用恒定步长 \( \alpha = 0.1 \)（为简化计算，实际中常用线搜索）。 计算未投影的临时点： \[ z^{(1)} = x^{(0)} - \alpha \nabla f(x^{(0)}) = (0, 0) - 0.1 \cdot (-2, -4) = (0.2, 0.4) \] 投影到可行域 可行域 \( \Omega = \{ x \mid x_ 1 + x_ 2 \leq 2, x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \} \)。 投影操作 \( P_ \Omega(z) \) 等价于求解： \[ \min_ {y \in \Omega} \| y - z \|^2 \] 对于点 \( z^{(1)} = (0.2, 0.4) \)： 检查约束：\( 0.2 + 0.4 = 0.6 \leq 2 \)，且坐标非负，因此 \( z^{(1)} \) 已在可行域内，投影后 \( x^{(1)} = (0.2, 0.4) \)。 迭代与收敛判断 重复上述过程： 迭代 1 ： 梯度 \( \nabla f(0.2, 0.4) = (-1.6, -3.2) \) 临时点 \( z^{(2)} = (0.2, 0.4) - 0.1 \cdot (-1.6, -3.2) = (0.36, 0.72) \) 投影：约束 \( 0.36 + 0.72 = 1.08 \leq 2 \)，无需调整，\( x^{(2)} = (0.36, 0.72) \)。 迭代 2 ： 梯度 \( (-1.28, -2.56) \)，临时点 \( (0.488, 0.976) \)，投影后仍可行，\( x^{(3)} = (0.488, 0.976) \)。 继续迭代直至连续两步的变化量 \( \| x^{(k+1)} - x^{(k)} \| < \epsilon \)。 最终收敛到近似解 \( x^* \approx (0.5, 1.5) \)，此时约束 \( x_ 1 + x_ 2 = 2 \) 被激活（紧约束）。 结果验证 在 \( x^* = (0.5, 1.5) \) 处，目标函数值 \( f(x^* ) = 0.5 \)，且梯度方向与紧约束的法向量平行（库恩-塔克条件成立）。 关键点总结 投影梯度法通过梯度下降和投影的交替操作处理约束。 投影步骤需高效实现（本例中可行域简单，可直接判断）。 步长选择影响收敛速度，自适应线搜索可优化性能。