其中 $ x_i $ 是 $ n $ 次拉盖尔多项式 $ L_n(x) $ 的根，权重 $ w_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 [L_{n+1}(x_i)]^2} $。  

 其中 $ |I(p) - I_n(p)| = 0 $（因公式对多项式精确），故：  

高斯-拉盖尔求积公式的收敛性分析 题目描述 高斯-拉盖尔求积公式用于计算形如 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \) 的积分，其中 \( f(x) \) 是光滑函数。该公式的节点和权重由拉盖尔多项式的根和相应权重决定。本题要求分析该求积公式的收敛性，即当节点数 \( n \to \infty \) 时，求积结果是否收敛于精确积分值，并讨论收敛速度与函数 \( f(x) \) 性质的关系。 解题过程 高斯-拉盖尔求积公式回顾 公式形式： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 是 \( n \) 次拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根，权重 \( w_ i = \frac{x_ i}{(n+1)^2 [ L_ {n+1}(x_ i) ]^2} \)。 关键性质：公式具有 \( 2n-1 \) 次代数精度，即对次数 \( \leq 2n-1 \) 的多项式精确成立。 收敛性定义 设 \( I_ n(f) = \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \) 为 \( n \) 点求积结果，精确积分为 \( I(f) \)。 收敛性指： \[ \lim_ {n \to \infty} I_ n(f) = I(f) \quad \text{对所有满足一定条件的 } f \text{ 成立}. \] 收敛性证明思路 步骤1：多项式逼近 由于公式对多项式精确，先考虑用多项式 \( p(x) \) 逼近 \( f(x) \)。根据威尔斯特拉斯定理，若 \( f(x) \) 在 \( [ 0, \infty) \) 上连续且满足增长条件（如 \( |f(x)| \leq Ce^{x/2} \)），则存在多项式 \( p(x) \) 使得 \( \sup_ {x \geq 0} |e^{-x}(f(x)-p(x))| \) 任意小。 步骤2：误差拆分 将误差分为两部分： \[ |I(f) - I_ n(f)| \leq |I(f) - I(p)| + |I(p) - I_ n(p)| + |I_ n(p) - I_ n(f)|. \] 其中 \( |I(p) - I_ n(p)| = 0 \)（因公式对多项式精确），故： \[ |I(f) - I_ n(f)| \leq \int_ {0}^{\infty} e^{-x} |f-p| \, dx + \sum_ {i=1}^{n} w_ i |p(x_ i) - f(x_ i)|. \] 步骤3：权重与节点的渐近行为 拉盖尔权重的和满足 \( \sum w_ i = 1 \)（对 \( f(x)=1 \) 精确），且节点 \( x_ i \) 集中在 \( [ 0, \infty) \)。利用拉盖尔多项式的渐近性质，可证 \( \max w_ i = O(1) \)，且当 \( n \to \infty \) 时，权重和节点的分布趋近于加权连续分布。 步骤4：收敛性结论 通过控制多项式逼近误差和权重的一致性，得到 \( \lim_ {n \to \infty} I_ n(f) = I(f) \) 对满足 \( |f(x)| \leq Ce^{x/2} \) 的连续函数成立。 收敛速度分析 若 \( f(x) \) 是 \( C^\infty \) 函数，收敛速度可能是指数级的（源于多项式逼近的指数收敛性）。 若 \( f(x) \) 有奇点或增长过快（如 \( |f(x)| \gg e^{x/2} \)），收敛可能变慢甚至不收敛。 实例验证 以 \( f(x) = \cos x \) 为例，其满足增长条件，可通过数值实验观察 \( n \) 增大时误差的指数衰减。 对比 \( f(x) = e^x \)，其不满足条件，求积公式发散。 总结 高斯-拉盖尔公式的收敛性依赖于 \( f(x) \) 在无穷区间的渐近行为，收敛速度受函数光滑性和增长性影响。实际应用中需确保 \( f(x) \) 的权重 \( e^{-x} f(x) \) 可积且增长受控。