非线性规划中的序列二次约束二次规划(SQCQP)算法基础题 我将为您讲解序列二次约束二次规划(SQCQP)算法的基础题目。这个算法是处理非线性约束优化问题的重要方法。 题目描述： 考虑以下非线性规划问题： 最小化：f(x) = x₁² + x₂² 约束条件：g(x) = x₁⁴ + x₂⁴ - 16 ≤ 0 初始点：x⁰ = (2, 2) 解题过程： 第一步：理解问题结构 目标函数f(x)是二次函数，是凸函数 约束函数g(x)是四次函数，是非凸函数 可行域是x₁⁴ + x₂⁴ ≤ 16定义的区域 初始点(2,2)在约束边界上，因为2⁴ + 2⁴ = 16 + 16 = 32 > 16，所以是可行域外的点 第二步：SQCQP算法框架 SQCQP的核心思想是将原问题序列化为一系列二次约束二次规划子问题。在每个迭代点xᵏ处，我们构造如下子问题： 最小化：∇f(xᵏ)ᵀd + ½dᵀBᵏd 约束条件：g(xᵏ) + ∇g(xᵏ)ᵀd ≤ 0 （其中Bᵏ是Hessian矩阵的近似） 第三步：计算梯度和Hessian 在初始点x⁰ = (2,2)处： ∇f(x) = [ 2x₁, 2x₂] = [ 4, 4 ] ∇g(x) = [ 4x₁³, 4x₂³] = [ 32, 32 ] g(x⁰) = 2⁴ + 2⁴ - 16 = 32 - 16 = 16 > 0（违反约束） 第四步：构造第一个子问题（k=0） 使用单位矩阵作为B⁰的初始近似： 最小化：4d₁ + 4d₂ + ½(d₁² + d₂²) 约束条件：16 + 32d₁ + 32d₂ ≤ 0 简化约束：32d₁ + 32d₂ ≤ -16 ⇒ d₁ + d₂ ≤ -0.5 第五步：求解第一个子问题 这是一个凸二次规划问题。使用拉格朗日乘子法： L(d,λ) = 4d₁ + 4d₂ + ½(d₁² + d₂²) + λ(d₁ + d₂ + 0.5) 最优性条件： ∂L/∂d₁ = 4 + d₁ + λ = 0 ∂L/∂d₂ = 4 + d₂ + λ = 0 d₁ + d₂ = -0.5（主动约束） 解得：d₁ = d₂ = -0.25, λ = -3.75 第六步：更新迭代点 x¹ = x⁰ + d = (2 - 0.25, 2 - 0.25) = (1.75, 1.75) 第七步：检查收敛性 在x¹处：g(x¹) = 1.75⁴ + 1.75⁴ - 16 ≈ 18.38 - 16 = 2.38 > 0 约束仍然违反，需要继续迭代。 第八步：第二次迭代（k=1） 在x¹ = (1.75, 1.75)处： ∇f(x¹) = [ 3.5, 3.5 ] ∇g(x¹) = [ 4×1.75³, 4×1.75³] ≈ [ 21.44, 21.44 ] g(x¹) ≈ 2.38 更新B¹（使用BFGS公式或保持单位矩阵） 构造新的子问题并求解 第九步：算法收敛分析 经过多次迭代，算法会收敛到可行点，并且满足KKT条件： 目标函数梯度与约束函数梯度的线性组合为零 互补松弛条件成立 原始可行性和对偶可行性满足 关键要点： SQCQP通过序列二次逼近处理非凸约束 每个子问题都是凸优化问题，可高效求解 需要合适的Hessian近似以保证收敛性 算法具有局部超线性收敛速率 这个基础题目展示了SQCQP算法如何处理带有非线性约束的优化问题，通过序列化的凸近似逐步逼近最优解。