多边形三角剖分的最低得分问题

字数 2228 2025-10-30 17:43:25

多边形三角剖分的最低得分问题

题目描述
给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序标记为 v₀, v₁, ..., v_{n-1}。每个顶点 v_i 都有一个权重 w_i（通常为整数）。将多边形三角剖分意味着连接其不相邻的顶点，将多边形分割成 n-2 个三角形。对于由顶点 v_i, v_j, v_k 构成的三角形，其得分为 w_i * w_j * w_k。整个三角剖分的总得分是所有三角形得分之和。你的目标是找到一种三角剖分方案，使得总得分最小。

解题过程

问题分析
- 这是一个凸多边形，意味着所有内角都小于180度，且任意两个顶点之间的连线都位于多边形内部。
- 三角剖分是通过连接不相邻的顶点（即对角线）来实现的，这些对角线不会相交。
- 我们的目标是找到一种特定的三角剖分方式，使得所有三角形的权重乘积之和最小。
- 由于不同的对角线连接顺序会产生不同的三角形组合，从而导致不同的总得分，我们需要系统地比较所有可能的剖分方式。区间动态规划是解决这类具有最优子结构问题的有效方法。
定义状态
- 我们定义 dp[i][j] 为一个状态，表示从顶点 i 到顶点 j（包括 i 和 j）所构成的凸多边形子区域进行三角剖分所能得到的最小总得分。
- 这里，i 和 j 是多边形顶点序列的索引。为了构成一个有效的多边形子区域，至少需要三个顶点。因此，我们通常要求 j - i >= 2（即至少有顶点 i, i+1, j）。
- 我们的最终目标是求解 dp[0][n-1]，即整个多边形（从顶点0到顶点n-1）的最小得分。
状态转移方程
- 考虑如何计算 dp[i][j]。这个多边形由顶点 i, i+1, i+2, ..., j 按顺序构成。
- 我们需要选择这个多边形的一条“基边”来进行划分。一个常见的思路是选择顶点 i 和 j 之间的边作为基边的一部分。
- 然后，我们在顶点 i 和 j 之间选择一个中间顶点 k (i < k < j)。这个顶点 k 将与顶点 i 和 j 构成一个三角形 (i, k, j)。
- 这个三角形 (i, k, j) 将整个多边形子区域 [i, j] 分割成了三个部分：
  1. 三角形 (i, k, j) 本身。
  2. 顶点 i, i+1, ..., k 构成的多边形子区域 [i, k]。
  3. 顶点 k, k+1, ..., j 构成的多边形子区域 [k, j]。
- 注意：子区域 [i, k] 和 [k, j] 本身也必须是凸多边形，并且它们可以通过同样的方式进行三角剖分。
- 那么，以 k 为中间顶点进行剖分，总得分就是：
  score = dp[i][k] + dp[k][j] + (w_i * w_k * w_j)
- 其中：
  - dp[i][k] 是子多边形 [i, k] 的最小得分。
  - dp[k][j] 是子多边形 [k, j] 的最小得分。
  - w_i * w_k * w_j 是三角形 (i, k, j) 的得分。
- 因为顶点 k 可以是 i+1 到 j-1 之间的任何一个顶点，所以我们需要遍历所有可能的 k，来找到使得总得分最小的那个方案：
  dp[i][j] = min( dp[i][k] + dp[k][j] + (w_i * w_k * w_j) )，其中 k 的取值范围是 i+1, i+2, ..., j-1。
初始化
- 最小的多边形子区域是由三个连续顶点构成的三角形。对于任意 i，如果子多边形只有两个顶点（即 j = i+1），它无法构成三角形，其三角剖分得分为0。因为两条边不能形成一个多边形区域用于三角剖分。
- 因此，我们可以初始化：对于所有的 i，dp[i][i+1] = 0。
- 实际上，当 j - i < 2 时（即只有1个或2个顶点），dp[i][j] 都应该初始化为0，因为没有三角形可以形成。
计算顺序
- 由于状态 dp[i][j] 依赖于更小的区间（即 dp[i][k] 和 dp[k][j]，其中 i < k < j），我们需要按照区间长度从小到大的顺序进行计算。
- 具体步骤：
  1. 初始化一个二维dp数组，大小为 n x n，并将所有元素初始化为0（或者一个很大的数，但至少保证长度为2的区间为0）。
  2. 令 len 表示当前要计算的子多边形的“跨度”（从顶点 i 到 j 的顶点数量，实际上是 j - i + 1）。我们需要处理的最小多边形是三角形，所以 len 从3开始（因为三角形有3个顶点，j-i=2），一直计算到 len = n（整个多边形）。
  3. 对于每一个固定的长度 len，遍历所有可能的起点 i。终点 j 可以通过 i + len - 1 计算得到，并且要保证 j < n。
  4. 对于每一对 (i, j)，遍历所有可能的中间顶点 k (i < k < j)，根据状态转移方程计算 dp[i][j] 的值，并取最小值。
最终结果
- 按照上述顺序计算完整个dp表后，dp[0][n-1] 中存储的值就是整个凸多边形三角剖分的最小得分。

总结
这个问题的核心在于识别出最优子结构：整个多边形的最优三角剖分包含其子多边形的最优三角剖分。通过遍历所有可能的“第一条对角线”（即选择中间顶点k），我们将问题分解为子问题，并利用动态规划表格避免重复计算，从而高效地找到全局最优解。计算顺序确保了在计算大区间时，其所依赖的小区间都已经被计算完毕。

多边形三角剖分的最低得分问题题目描述给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序标记为 v₀, v₁, ..., v_ {n-1}。每个顶点 v_ i 都有一个权重 w_ i（通常为整数）。将多边形三角剖分意味着连接其不相邻的顶点，将多边形分割成 n-2 个三角形。对于由顶点 v_ i, v_ j, v_ k 构成的三角形，其得分为 w_ i * w_ j * w_ k。整个三角剖分的总得分是所有三角形得分之和。你的目标是找到一种三角剖分方案，使得总得分最小。解题过程问题分析这是一个凸多边形，意味着所有内角都小于180度，且任意两个顶点之间的连线都位于多边形内部。三角剖分是通过连接不相邻的顶点（即对角线）来实现的，这些对角线不会相交。我们的目标是找到一种特定的三角剖分方式，使得所有三角形的权重乘积之和最小。由于不同的对角线连接顺序会产生不同的三角形组合，从而导致不同的总得分，我们需要系统地比较所有可能的剖分方式。区间动态规划是解决这类具有最优子结构问题的有效方法。定义状态我们定义 dp[i][j] 为一个状态，表示从顶点 i 到顶点 j（包括 i 和 j）所构成的凸多边形子区域进行三角剖分所能得到的最小总得分。这里，i 和 j 是多边形顶点序列的索引。为了构成一个有效的多边形子区域，至少需要三个顶点。因此，我们通常要求 j - i >= 2（即至少有顶点 i, i+1, j）。我们的最终目标是求解 dp[0][n-1] ，即整个多边形（从顶点0到顶点n-1）的最小得分。状态转移方程考虑如何计算 dp[i][j] 。这个多边形由顶点 i, i+1, i+2, ..., j 按顺序构成。我们需要选择这个多边形的一条“基边”来进行划分。一个常见的思路是选择顶点 i 和 j 之间的边作为基边的一部分。然后，我们在顶点 i 和 j 之间选择一个中间顶点 k (i < k < j)。这个顶点 k 将与顶点 i 和 j 构成一个三角形 (i, k, j)。这个三角形 (i, k, j) 将整个多边形子区域 [ i, j ] 分割成了三个部分：三角形 (i, k, j) 本身。顶点 i, i+1, ..., k 构成的多边形子区域 [ i, k ]。顶点 k, k+1, ..., j 构成的多边形子区域 [ k, j ]。注意：子区域 [ i, k] 和 [ k, j ] 本身也必须是凸多边形，并且它们可以通过同样的方式进行三角剖分。那么，以 k 为中间顶点进行剖分，总得分就是： score = dp[i][k] + dp[k][j] + (w_i * w_k * w_j) 其中： dp[i][k] 是子多边形 [ i, k ] 的最小得分。 dp[k][j] 是子多边形 [ k, j ] 的最小得分。 w_i * w_k * w_j 是三角形 (i, k, j) 的得分。因为顶点 k 可以是 i+1 到 j-1 之间的任何一个顶点，所以我们需要遍历所有可能的 k，来找到使得总得分最小的那个方案： dp[i][j] = min( dp[i][k] + dp[k][j] + (w_i * w_k * w_j) ) ，其中 k 的取值范围是 i+1, i+2, ..., j-1。初始化最小的多边形子区域是由三个连续顶点构成的三角形。对于任意 i，如果子多边形只有两个顶点（即 j = i+1），它无法构成三角形，其三角剖分得分为0。因为两条边不能形成一个多边形区域用于三角剖分。因此，我们可以初始化：对于所有的 i， dp[i][i+1] = 0 。实际上，当 j - i < 2 时（即只有1个或2个顶点）， dp[i][j] 都应该初始化为0，因为没有三角形可以形成。计算顺序由于状态 dp[i][j] 依赖于更小的区间（即 dp[i][k] 和 dp[k][j] ，其中 i < k < j），我们需要按照区间长度从小到大的顺序进行计算。具体步骤：初始化一个二维dp数组，大小为 n x n，并将所有元素初始化为0（或者一个很大的数，但至少保证长度为2的区间为0）。令 len 表示当前要计算的子多边形的“跨度”（从顶点 i 到 j 的顶点数量，实际上是 j - i + 1）。我们需要处理的最小多边形是三角形，所以 len 从3开始（因为三角形有3个顶点，j-i=2），一直计算到 len = n （整个多边形）。对于每一个固定的长度 len ，遍历所有可能的起点 i。终点 j 可以通过 i + len - 1 计算得到，并且要保证 j < n。对于每一对 (i, j)，遍历所有可能的中间顶点 k (i < k < j)，根据状态转移方程计算 dp[i][j] 的值，并取最小值。最终结果按照上述顺序计算完整个dp表后， dp[0][n-1] 中存储的值就是整个凸多边形三角剖分的最小得分。总结这个问题的核心在于识别出最优子结构：整个多边形的最优三角剖分包含其子多边形的最优三角剖分。通过遍历所有可能的“第一条对角线”（即选择中间顶点k），我们将问题分解为子问题，并利用动态规划表格避免重复计算，从而高效地找到全局最优解。计算顺序确保了在计算大区间时，其所依赖的小区间都已经被计算完毕。