双步隐式位移QR算法在拟上三角矩阵特征值计算中的应用

题目描述
拟上三角矩阵（实Schur型矩阵）是实矩阵通过正交相似变换得到的一种特殊上三角块矩阵，其对角线上的块为1×1或2×2子块，分别对应实特征值和共轭复特征值对。双步隐式位移QR算法是高效计算这类矩阵全部特征值的数值方法，它通过隐式处理避免复数运算，直接对实数矩阵进行操作。题目要求：给定一个n×n拟上三角矩阵H，设计算法流程逐步计算其特征值，并解释隐式位移的实现原理。

解题过程

1. 问题背景与目标

• 拟上三角矩阵是上三角矩阵的推广形式，例如：

\[ H = \begin{bmatrix} * & * & * & * \\ * & * & * & * \\ 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * \end{bmatrix} \]

其中右下角可能存在2×2子块（如最后两行两列构成一个块）。

• 目标：在不显式引入复数的前提下，通过迭代将矩阵对角化，从而读取特征值（实特征值直接取自1×1块，复特征值通过解2×2块的特征方程得到）。

2. 双步隐式位移策略

• 位移思想：每次迭代选取两个位移量，通常取矩阵右下角2×2子块的特征值（若为实特征值则重复一次）。设位移为σ₁和σ₂，算法本质是隐式执行两步显式QR迭代：

\[ H - σ₁I = Q₁R₁ \rightarrow H₁ = R₁Q₁ + σ₁I \\ H₁ - σ₂I = Q₂R₂ \rightarrow H₂ = R₂Q₂ + σ₂I \]

• 隐式优势：直接计算上述过程会引入复数，隐式方法通过构造一个实正交矩阵Q，使Q的第一列与显式过程中相同，且QᵀHQ仍是拟上三角矩阵，避免中间复数运算。

3. 隐式QR步骤详解
步骤1：计算初始向量

• 计算向量 \(v = (H - σ₁I)(H - σ₂I)e₁\)，其中e₁是第一个标准基向量。由于H是拟上三角矩阵，v仅有前三个分量非零（因H的次对角线最多到第2行）。
• 示例：若H是4×4矩阵，v = [v₁, v₂, v₃, 0]ᵀ。

步骤2：构造Householder反射子

• 针对v的前三个分量，构造3×3的Householder反射矩阵P₀，使得P₀v平行于e₁。
• 将P₀嵌入n×n单位矩阵，得到正交矩阵Q₀ = diag(P₀, I_{n-3})。

步骤3：应用相似变换

• 计算H₁ = Q₀ᵀHQ₀。由于P₀仅影响前3行3列，变换后H₁可能在第3行第1列（即位置(3,1)）引入非零元，称为"凸起"（bulge）。

步骤4：追迹消去凸起

• 通过一系列正交相似变换（如Givens旋转或Householder反射），将凸起沿次对角线向下移动，直到排出矩阵右下角，恢复拟上三角形式：
  • 对凸起所在位置（如(3,1)），用Givens旋转消去该非零元，但会在下一行引入新凸起。
  • 重复此过程，类似将凸起"推"出矩阵。
• 数学上，这等价于构造正交矩阵Q，使Q的第一列与显式双步QR的Q₁Q₂相同，且QᵀHQ为新的拟上三角矩阵。

4. 收敛判断与特征值提取

• 每次迭代后，检查次对角线元素：若某个次对角线元趋于零（如|h_{i+1,i}| < ε||H||），则可分离出右下角子矩阵递归处理。
• 最终矩阵被划分为多个1×1和2×2对角块，特征值由这些块直接计算：
  • 1×1块：元素即实特征值。
  • 2×2块：解特征方程λ² - tr(B)λ + det(B) = 0，得到一对共轭复特征值。

5. 算法特点总结

• 高效性：隐式处理避免复数运算，且每次迭代仅O(n²)复杂度。
• 稳定性：正交变换保范数，数值误差可控。
• 适用性：尤其适用于实矩阵的特征值计算，是LAPACK等库的核心算法。

通过以上步骤，算法逐步将拟上三角矩阵对角块化，从而可靠地提取所有特征值。