高斯过程回归（Gaussian Process Regression）的原理与预测过程 我将详细讲解高斯过程回归（GPR）的原理和预测过程。GPR是一种强大的非参数贝叶斯方法，用于解决回归问题。 题目描述 假设我们有一组带噪声的观测数据点（训练集）D = {(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ)}，其中xᵢ是输入向量，yᵢ是观测输出。我们的目标是：给定新的测试输入x* ，预测对应的输出f(x* )的分布（而不仅仅是点估计）。 解题过程 1. 高斯过程的基本概念 高斯过程是随机变量的集合，其中任意有限个随机变量都服从联合高斯分布。它完全由以下两个函数定义： 均值函数m(x)：通常设为0（数据可先中心化） 协方差函数（核函数）k(x, x')：衡量两个输入点之间的相似度 我们写作：f(x) ∼ GP(m(x), k(x, x')) 2. 先验分布 在观察到任何数据之前，我们对函数f(x)有一个先验信念。假设均值为0，则先验分布为： p(f) = N(0, K) 其中K是核函数在所有训练点对上计算的协方差矩阵，Kᵢⱼ = k(xᵢ, xⱼ) 3. 似然函数 我们假设观测值y与真实函数值f(x)的关系为： y = f(x) + ε，其中ε ∼ N(0, σ²ₙ)是高斯噪声 因此，似然函数为：p(y|f) = N(f, σ²ₙI) 4. 训练集与测试集的联合分布 考虑训练点X和测试点X* ，对应的函数值f和f 服从联合高斯分布： [ y ] ∼ N( 0, [ K(X,X) + σ²ₙI K(X,X ) ] ) [ f* ] [ K(X* ,X) K(X* ,X* ) ] 其中K(X,X)是n×n矩阵，K(X,X* )是n×n* 矩阵，等等。 5. 后验预测分布 利用高斯分布的条件分布性质，我们可以得到f 的后验分布： p(f |X,y,X* ) = N(μ* , Σ* ) 其中： 预测均值：μ* = K(X* ,X)[ K(X,X) + σ²ₙI ]⁻¹y 预测协方差：Σ* = K(X* ,X* ) - K(X* ,X)[ K(X,X) + σ²ₙI]⁻¹K(X,X* ) 6. 核函数的选择 常用的核函数包括： 平方指数核：k(x,x') = σ² exp(-||x-x'||²/(2l²)) 马顿核：k(x,x') = σ²(1 + √3||x-x'||/l) exp(-√3||x-x'||/l) 参数σ²（信号方差）和l（长度尺度）通过最大化边缘似然来优化。 7. 预测不确定性 GPR的一个重要优势是它提供了预测的不确定性估计。对于测试点x* ，预测分布f(x* ) ∼ N(μ(x* ), σ²(x* ))，其中方差σ²(x* )量化了预测的不确定性。