基于线性规划的图最短路径问题求解示例

我将为您讲解如何使用线性规划方法求解图的最短路径问题。这是一个经典问题，可以转化为线性规划模型来求解。

问题描述
考虑一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。每条边(i,j)∈E有一个非负权重c_ij（表示距离、时间或成本）。给定起点s和终点t，求从s到t的最短路径。

具体示例：

• 顶点：{1,2,3,4,5}（s=1，t=5）
• 边及权重：1→2(4)，1→3(2)，2→3(3)，2→4(2)，2→5(3)，3→2(1)，3→4(4)，3→5(5)，4→5(1)

建立线性规划模型

1. 决策变量：为每条边(i,j)定义变量x_ij

   • x_ij = 1表示边(i,j)在最短路径中
   • x_ij = 0表示边(i,j)不在最短路径中

2. 目标函数：最小化路径总长度
   min z = 4x₁₂ + 2x₁₃ + 3x₂₃ + 2x₂₄ + 3x₂₅ + 1x₃₂ + 4x₃₄ + 5x₃₅ + 1x₄₅

3. 约束条件（流量守恒）：

   • 起点s：流出量-流入量=1
     x₁₂ + x₁₃ = 1
   • 终点t：流入量-流出量=1
     x₂₅ + x₃₅ + x₄₅ = 1
   • 中间顶点：流出量=流入量
     顶点2：x₂₃ + x₂₄ + x₂₅ - (x₁₂ + x₃₂) = 0
     顶点3：x₃₂ + x₃₄ + x₃₅ - (x₁₃ + x₂₃) = 0
     顶点4：x₄₅ - (x₂₄ + x₃₄) = 0

求解过程

1. 问题转化：这是一个0-1整数规划问题，但由于最短路径问题的特殊结构（全单模性），可以直接用线性规划求解，解自动为整数。

2. 单纯形法求解步骤：

   • 引入人工变量构造初始基
   • 建立初始单纯形表
   • 进行基变换迭代

3. 具体求解：
   通过单纯形法迭代，最终得到最优解：
   x₁₃=1，x₃₂=1，x₂₅=1，其他变量为0
   即路径：1→3→2→5

4. 最优值计算：
   z = 2×1 + 1×1 + 3×1 = 6

结果验证
手动验证：路径1→3→2→5的总长度=2+1+3=6
其他可能路径比较：

• 1→2→5：4+3=7
• 1→3→5：2+5=7
• 1→2→4→5：4+2+1=7
  确认路径1→3→2→5确实是最短的。

算法特点

• 适用于有向无环图的最短路径问题
• 可以处理负权重边（但不能有负环）
• 对于大规模问题，专门的图算法（如Dijkstra）更高效，但线性规划方法具有通用性