好的，我们接下来讲解 LeetCode 第 48 题：“旋转图像”。

题目描述

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像 顺时针旋转 90 度。

要求：

• 必须在 原地 旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。
• 不要 使用另一个矩阵来旋转图像。

示例 1：

输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：[[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]

示例 2：

输入：matrix = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]]
输出：[[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]

解题思路

为了在原地旋转矩阵，我们可以通过 两次操作 来实现顺时针 90 度的效果。

方法一：数学推导（转置 + 翻转）

顺时针旋转 90 度可以分解为两步：

1. 转置矩阵（行列互换）
2. 水平翻转每一行

为什么这样可行？

我们来看一个 3x3 矩阵的例子：

原始矩阵：

[1, 2, 3]
[4, 5, 6]
[7, 8, 9]

第一步：转置（行列互换）

• 第 i 行变成第 i 列

[1, 4, 7]
[2, 5, 8]
[3, 6, 9]

第二步：水平翻转每一行

• 每行元素左右交换

[7, 4, 1]
[8, 5, 2]
[9, 6, 3]

这正是顺时针旋转 90 度的结果。

详细步骤

步骤 1：转置矩阵

• 遍历矩阵的上三角（不包括对角线或包括对角线都可以，但要注意不要重复交换）
• 对于每个元素 matrix[i][j]，交换 matrix[i][j] 和 matrix[j][i]
• 注意：只需要遍历 i < j 的部分，避免重复交换

步骤 2：水平翻转每一行

• 对于每一行，使用双指针法，将首尾对应的元素交换
• 指针从两端向中间移动，直到相遇

代码实现（思路对应）

def rotate(matrix):
    n = len(matrix)
    
    # 步骤 1：转置矩阵
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):  # 注意 j 从 i+1 开始，避免重复交换
            matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]
    
    # 步骤 2：水平翻转每一行
    for i in range(n):
        left, right = 0, n - 1
        while left < right:
            matrix[i][left], matrix[i][right] = matrix[i][right], matrix[i][left]
            left += 1
            right -= 1

方法二：逐层旋转（更直观的模拟）

对于 n x n 矩阵，可以看作由外到内的一圈圈“层”组成。
每一层进行旋转：将每条边上的元素依次移动。

具体操作（对于一层）：

• 将上边的元素移到右边
• 将右边的元素移到下边
• 将下边的元素移到左边
• 将左边的元素移到上边

如何确定层的范围？

• 层数从 0 到 n//2（因为 n 为奇数时最中间一个元素不需要旋转）

对于第 layer 层：

• 该层有 n - 2 * layer 的长度
• 需要旋转的元素索引范围是 [layer, n - 1 - layer]

旋转四个位置的元素：

• 上边 (layer, i) → 右边 (i, n-1-layer)
• 右边 (i, n-1-layer) → 下边 (n-1-layer, n-1-i)
• 下边 (n-1-layer, n-1-i) → 左边 (n-1-i, layer)
• 左边 (n-1-i, layer) → 上边 (layer, i)

用临时变量 temp 保存一个位置的值，然后逆序赋值，完成四个位置的交换。

方法二代码实现

def rotate(matrix):
    n = len(matrix)
    for layer in range(n // 2):
        first, last = layer, n - 1 - layer
        for i in range(first, last):
            offset = i - first
            # 保存上边
            top = matrix[first][i]
            # 左到上
            matrix[first][i] = matrix[last - offset][first]
            # 下到左
            matrix[last - offset][first] = matrix[last][last - offset]
            # 右到下
            matrix[last][last - offset] = matrix[i][last]
            # 上到右
            matrix[i][last] = top

总结

• 方法一（转置+翻转） 思路简单，代码简洁，容易记忆。
• 方法二（逐层旋转） 更符合旋转的直观过程，但索引计算稍复杂。
• 两种方法的时间复杂度都是 O(n²)，空间复杂度都是 O(1)（原地修改）。

通常面试中掌握方法一即可快速解题，理解方法二有助于加深对矩阵操作的认识。