高斯过程回归（Gaussian Process Regression）的原理与预测过程 题目描述 高斯过程回归（GPR）是一种基于贝叶斯思想的非参数回归方法。它通过假设函数服从高斯过程先验，直接对函数进行建模，从而提供预测值及其不确定性估计。例如，给定一组带噪声的观测数据 \( (X, y) \)，GPR 可以预测新输入 \( X_* \) 对应的输出 \( y_* \) 的概率分布。 解题过程 1. 高斯过程定义 高斯过程（GP）是无限多个随机变量的集合，其中任意有限个变量服从联合高斯分布。 GP 由均值函数 \( m(x) \) 和协方差函数（核函数） \( k(x, x') \) 完全定义： \[ f(x) \sim \mathcal{GP}(m(x), k(x, x')) \] 通常假设 \( m(x) = 0 \)（数据可中心化处理）。 2. 模型建立 假设观测数据 \( y = f(x) + \epsilon \)，其中 \( \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma_ n^2) \) 为独立同分布的高斯噪声。 训练数据 \( X \) 与测试数据 \( X_* \) 的联合分布为： \[ \begin{bmatrix} y \\ f_* \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( 0, \begin{bmatrix} K(X, X) + \sigma_ n^2 I & K(X, X_ ) \\ K(X_ , X) & K(X_ , X_ ) \end{bmatrix} \right) \] 其中 \( K(X, X) \) 是训练点之间的核矩阵，\( K(X, X_* ) \) 是训练点与测试点之间的核矩阵。 3. 后验分布推导 利用联合高斯分布的条件分布公式，可得测试点 \( f_* \) 的后验分布： \[ f_* \mid X, y, X_* \sim \mathcal{N}(\bar{f} * , \operatorname{cov}(f * )) \] 其中： 预测均值： \[ \bar{f} * = K(X * , X) [ K(X, X) + \sigma_ n^2 I ]^{-1} y \] 预测协方差： \[ \operatorname{cov}(f_ ) = K(X_ , X_ ) - K(X_ , X) [ K(X, X) + \sigma_ n^2 I]^{-1} K(X, X_* ) \] 4. 核函数选择 常用核函数如径向基函数（RBF）： \[ k(x, x') = \sigma_ f^2 \exp\left(-\frac{\|x - x'\|^2}{2l^2}\right) \] 参数 \( \sigma_ f^2 \)（信号方差）和 \( l \)（长度尺度）通过最大化边缘似然估计： \[ \log p(y \mid X) = -\frac{1}{2} y^T (K + \sigma_ n^2 I)^{-1} y - \frac{1}{2} \log |K + \sigma_ n^2 I| - \frac{n}{2} \log 2\pi \] 5. 预测与不确定性 预测均值 \( \bar{f} * \) 是函数在 \( X * \) 处的最佳估计。 预测协方差 \( \operatorname{cov}(f_* ) \) 量化不确定性：在数据稀疏区域不确定性增大，在数据密集区域不确定性减小。 关键点总结 GPR 通过核函数编码函数平滑性假设，无需指定参数化模型。 后验分布直接给出预测的完整概率描述，适用于不确定性敏感的应用（如贝叶斯优化）。 计算复杂度为 \( O(n^3) \)（源于矩阵求逆），需优化处理大规模数据。