多边形三角剖分的最低得分问题（边权重乘积版本） 题目描述 给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序编号为0, 1, 2, ..., n-1。多边形的每条边(i, i+1)都有一个权重w_ i（下标对n取模）。将多边形三角剖分（即连接不相邻顶点将多边形分割成n-2个三角形）后，每个三角形的得分定义为该三角形三条边权重的乘积。三角剖分的总得分是所有三角形得分之和。请计算三角剖分的最低可能得分。 解题思路 问题分析 ：这是一个经典的区间DP问题。我们需要在凸多边形中找到一种三角剖分方式，使得所有三角形得分之和最小。由于是凸多边形，任意不相邻顶点之间的连线都不会与多边形的边相交。 状态定义 ：定义dp[ i][ j ]表示从顶点i到顶点j（按顺时针方向）形成的子多边形进行三角剖分的最低得分。注意这个子多边形包含边(i, j)。 状态转移 ： 当子多边形只有2条边时（即i和j相邻），无法形成三角形，得分为0 当子多边形有3条边时，本身就是一个三角形，得分就是三条边权重的乘积 对于更大的子多边形，我们需要选择一个顶点k(i < k < j)，将多边形分割为三部分： 三角形(i, k, j) 子多边形[ i, k ] 子多边形[ k, j ] 转移方程为：dp[ i][ j] = min(dp[ i][ k] + dp[ k][ j] + w[ i]×w[ k]×w[ j ]) 初始化 ：相邻顶点的子多边形得分为0 计算顺序 ：按子多边形长度从小到大计算 详细解题步骤 基础情况处理 ： 如果多边形顶点数n < 3，无法形成三角形，返回0 创建一个n×n的dp数组，初始化为0 按区间长度计算 ： 从长度为2开始（即跨越3个顶点）到长度为n-1 对于每个起始顶点i，计算结束顶点j = (i + len) % n 遍历所有可能的分割点k（i < k < j） 具体计算示例 ： 假设有4个顶点，边权重为[ 1, 2, 3, 4 ] 计算三角形(0,1,2)：得分=1×2×3=6 计算三角形(0,2,3)：得分=1×3×4=12 比较两种剖分方式：6+12=18 vs 其他剖分方式 环形处理技巧 ： 由于是环形结构，我们需要考虑所有可能的起始点 可以通过将数组复制一份（长度变为2n）或者取模运算来处理环形 最终结果 ： 结果为dp[ 0][ n-1 ]，表示从顶点0到顶点n-1的整个多边形的三角剖分最低得分 关键点 确保k在i和j之间，避免重复计算 注意边权重的索引对应关系 对于环形结构，要正确处理边界情况 这个问题的核心是通过动态规划找到最优的分割点，将大问题分解为子问题，逐步构建出最优解。