复合梯形公式的误差分析与步长优化
字数 2890 2025-10-30 11:52:22

复合梯形公式的误差分析与步长优化

题目描述
考虑定积分 \(I = \int_a^b f(x) \, dx\)，其中 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上二阶连续可微。使用复合梯形公式 \(T_n\) 进行数值积分时，需分析其截断误差 \(E_n\) 与步长 \(h = (b-a)/n\) 的关系，并推导使总误差（截断误差与舍入误差之和）最小的最优步长 \(h_{\text{opt}}\)。假设每次函数计算的舍入误差上限为 \(\varepsilon\)。

解题过程

  1. 复合梯形公式的表达式
    将区间 \([a, b]\) 等分为 \(n\) 个子区间，节点为 \(x_i = a + ih\)（\(i = 0, 1, \dots, n\)），则复合梯形公式为：

\[ T_n = h \left[ \frac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + \dots + f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)}{2} \right]. \]

  1. 截断误差分析
    在每个子区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上，梯形公式的局部截断误差为：

\[ E_{\text{local}} = -\frac{h^3}{12} f''(\xi_i), \quad \xi_i \in [x_{i-1}, x_i]. \]

由于 \(f''(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，根据积分中值定理，存在 \(\eta \in [a, b]\) 使得全局截断误差为：

\[ E_n = \sum_{i=1}^n E_{\text{local}} = -\frac{h^3}{12} \sum_{i=1}^n f''(\xi_i) = -\frac{h^2(b-a)}{12} f''(\eta). \]

因此，截断误差满足：

\[ |E_n| \leq \frac{h^2(b-a)}{12} M, \quad \text{其中 } M = \max_{x \in [a, b]} |f''(x)|. \]

截断误差以 \(O(h^2)\) 的速度随步长减小。

  1. 舍入误差分析
    设每次计算 \(f(x)\) 的舍入误差独立且服从均匀分布，最大值为 \(\varepsilon\)。复合梯形公式包含 \(n+1\) 次函数计算，但首尾节点权重为 \(1/2\)，中间节点权重为 1。总舍入误差 \(R_n\) 的绝对值上限为：

\[ |R_n| \leq h \left( \frac{\varepsilon}{2} + \varepsilon + \dots + \varepsilon + \frac{\varepsilon}{2} \right) = h \cdot n \varepsilon = (b-a) \varepsilon. \]

注意：舍入误差与步长 \(h\) 无关，仅由区间长度和单次误差决定。

  1. 总误差与最优步长
    总误差 \(\text{Error} = |E_n + R_n| \leq |E_n| + |R_n|\)。代入表达式：

\[ \text{Error} \leq \frac{h^2(b-a)M}{12} + (b-a)\varepsilon. \]

但需注意，舍入误差的实际统计行为可能使问题复杂化。更合理的模型是假设舍入误差随机独立，总方差为：

\[ \text{Var}(R_n) = h^2 \left( \frac{\varepsilon^2}{4} + \underbrace{\varepsilon^2 + \dots + \varepsilon^2}_{n-1 \text{ 项}} + \frac{\varepsilon^2}{4} \right) = h^2 n \varepsilon^2 = h(b-a)\varepsilon^2. \]

此时总误差的均方根（RMS）近似为：

\[ \text{RMS Error} \approx \sqrt{ \left( \frac{h^2(b-a)M}{12} \right)^2 + h(b-a)\varepsilon^2 }. \]

为简化，通常直接最小化误差上界：

\[ U(h) = \frac{h^2(b-a)M}{12} + (b-a)\varepsilon. \]

但此上界中舍入误差项与 \(h\) 无关，无法优化。需采用更精细的模型：假设舍入误差的期望绝对值和 \(h\) 成正比（如 \(|R_n| \approx c h^{-1} \varepsilon\)），或直接使用方差模型。经典结论是，当截断误差与舍入误差量级相当时，总误差最小。设：

\[ \text{截断误差} \approx C_1 h^2, \quad \text{舍入误差} \approx C_2 h^{-1} \varepsilon, \]

则总误差 \(\approx C_1 h^2 + C_2 \varepsilon / h\)。对其求导并令导数为零：

\[ \frac{d}{dh} \left( C_1 h^2 + C_2 \frac{\varepsilon}{h} \right) = 2C_1 h - C_2 \frac{\varepsilon}{h^2} = 0 \implies h^3 = \frac{C_2 \varepsilon}{2C_1}. \]

代入 \(C_1 = (b-a)M/12\)，\(C_2 \propto (b-a)\)，得最优步长：

\[ h_{\text{opt}} \propto \varepsilon^{1/3}. \]

此时，总误差量级为 \(O(\varepsilon^{2/3})\)，无法达到机器精度 \(\varepsilon\) 的原因在于舍入误差积累。

  1. 实际应用中的调整
    • 若 \(f(x)\) 高阶光滑，可使用更高阶公式（如辛普森法）使截断误差降为 \(O(h^4)\)，最优步长 \(h_{\text{opt}} \propto \varepsilon^{1/5}\)，总误差更小。
    • 当 \(\varepsilon\) 极小时（如双精度），舍入误差可忽略，步长由截断误差要求决定。
    • 对于震荡或奇异函数，需采用自适应策略而非均匀步长。

总结
复合梯形公式的误差由截断误差（随 \(h\) 减小而减小）和舍入误差（随 \(h\) 减小而增大）共同决定。通过平衡两者，可推导最优步长 \(h_{\text{opt}} \propto \varepsilon^{1/3}\)，使总误差最小化。实际应用中需根据函数特性选择合适积分方法。

复合梯形公式的误差分析与步长优化 题目描述 考虑定积分 \( I = \int_ a^b f(x) \, dx \)，其中 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b]\) 上二阶连续可微。使用复合梯形公式 \( T_ n \) 进行数值积分时，需分析其截断误差 \( E_ n \) 与步长 \( h = (b-a)/n \) 的关系，并推导使总误差（截断误差与舍入误差之和）最小的最优步长 \( h_ {\text{opt}} \)。假设每次函数计算的舍入误差上限为 \( \varepsilon \)。 解题过程 复合梯形公式的表达式 将区间 \([ a, b]\) 等分为 \( n \) 个子区间，节点为 \( x_ i = a + ih \)（\( i = 0, 1, \dots, n \)），则复合梯形公式为： \[ T_ n = h \left[ \frac{f(x_ 0)}{2} + f(x_ 1) + \dots + f(x_ {n-1}) + \frac{f(x_ n)}{2} \right ]. \] 截断误差分析 在每个子区间 \([ x_ {i-1}, x_ i ]\) 上，梯形公式的局部截断误差为： \[ E_ {\text{local}} = -\frac{h^3}{12} f''(\xi_ i), \quad \xi_ i \in [ x_ {i-1}, x_ i ]. \] 由于 \( f''(x) \) 在 \([ a, b]\) 上连续，根据积分中值定理，存在 \( \eta \in [ a, b ] \) 使得全局截断误差为： \[ E_ n = \sum_ {i=1}^n E_ {\text{local}} = -\frac{h^3}{12} \sum_ {i=1}^n f''(\xi_ i) = -\frac{h^2(b-a)}{12} f''(\eta). \] 因此，截断误差满足： \[ |E_ n| \leq \frac{h^2(b-a)}{12} M, \quad \text{其中 } M = \max_ {x \in [ a, b ]} |f''(x)|. \] 截断误差以 \( O(h^2) \) 的速度随步长减小。 舍入误差分析 设每次计算 \( f(x) \) 的舍入误差独立且服从均匀分布，最大值为 \( \varepsilon \)。复合梯形公式包含 \( n+1 \) 次函数计算，但首尾节点权重为 \( 1/2 \)，中间节点权重为 1。总舍入误差 \( R_ n \) 的绝对值上限为： \[ |R_ n| \leq h \left( \frac{\varepsilon}{2} + \varepsilon + \dots + \varepsilon + \frac{\varepsilon}{2} \right) = h \cdot n \varepsilon = (b-a) \varepsilon. \] 注意：舍入误差与步长 \( h \) 无关，仅由区间长度和单次误差决定。 总误差与最优步长 总误差 \( \text{Error} = |E_ n + R_ n| \leq |E_ n| + |R_ n| \)。代入表达式： \[ \text{Error} \leq \frac{h^2(b-a)M}{12} + (b-a)\varepsilon. \] 但需注意，舍入误差的实际统计行为可能使问题复杂化。更合理的模型是假设舍入误差随机独立，总方差为： \[ \text{Var}(R_ n) = h^2 \left( \frac{\varepsilon^2}{4} + \underbrace{\varepsilon^2 + \dots + \varepsilon^2} {n-1 \text{ 项}} + \frac{\varepsilon^2}{4} \right) = h^2 n \varepsilon^2 = h(b-a)\varepsilon^2. \] 此时总误差的均方根（RMS）近似为： \[ \text{RMS Error} \approx \sqrt{ \left( \frac{h^2(b-a)M}{12} \right)^2 + h(b-a)\varepsilon^2 }. \] 为简化，通常直接最小化误差上界： \[ U(h) = \frac{h^2(b-a)M}{12} + (b-a)\varepsilon. \] 但此上界中舍入误差项与 \( h \) 无关，无法优化。需采用更精细的模型：假设舍入误差的期望绝对值和 \( h \) 成正比（如 \( |R_ n| \approx c h^{-1} \varepsilon \)），或直接使用方差模型。经典结论是，当截断误差与舍入误差量级相当时，总误差最小。设： \[ \text{截断误差} \approx C_ 1 h^2, \quad \text{舍入误差} \approx C_ 2 h^{-1} \varepsilon, \] 则总误差 \( \approx C_ 1 h^2 + C_ 2 \varepsilon / h \)。对其求导并令导数为零： \[ \frac{d}{dh} \left( C_ 1 h^2 + C_ 2 \frac{\varepsilon}{h} \right) = 2C_ 1 h - C_ 2 \frac{\varepsilon}{h^2} = 0 \implies h^3 = \frac{C_ 2 \varepsilon}{2C_ 1}. \] 代入 \( C_ 1 = (b-a)M/12 \)，\( C_ 2 \propto (b-a) \)，得最优步长： \[ h {\text{opt}} \propto \varepsilon^{1/3}. \] 此时，总误差量级为 \( O(\varepsilon^{2/3}) \)，无法达到机器精度 \( \varepsilon \) 的原因在于舍入误差积累。 实际应用中的调整 若 \( f(x) \) 高阶光滑，可使用更高阶公式（如辛普森法）使截断误差降为 \( O(h^4) \)，最优步长 \( h_ {\text{opt}} \propto \varepsilon^{1/5} \)，总误差更小。 当 \( \varepsilon \) 极小时（如双精度），舍入误差可忽略，步长由截断误差要求决定。 对于震荡或奇异函数，需采用自适应策略而非均匀步长。 总结 复合梯形公式的误差由截断误差（随 \( h \) 减小而减小）和舍入误差（随 \( h \) 减小而增大）共同决定。通过平衡两者，可推导最优步长 \( h_ {\text{opt}} \propto \varepsilon^{1/3} \)，使总误差最小化。实际应用中需根据函数特性选择合适积分方法。