CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法 题目描述 CRYSTALS-Dilithium 是一种基于格论困难问题的后量子数字签名算法，旨在抵御量子计算机的攻击。它通过多项式环上的运算生成密钥对，并利用"Fiat-Shamir启发式"将交互式证明转化为非交互式签名。题目要求理解其密钥生成、签名生成和验证的数学原理与步骤，重点包括多项式运算、拒绝采样和安全性设计。 解题过程 数学基础准备 环结构 ：Dilithium 在环 \( R_ q = \mathbb{Z}_ q[ X]/(X^n + 1) \) 上操作，其中 \( n=256 \)（多项式次数），\( q \) 是模数（如 \( 2^{23} - 2^{13} + 1 \)）。多项式系数在 \( [ -q/2, q/2)\) 范围内运算。 难点问题 ：安全性基于模块化短整数解问题（MLWE）和模块化短整数独立向量问题（MSIS），攻击者需从随机矩阵和噪声中恢复秘密向量。 密钥生成 步骤1 ：生成随机种子 \( \rho \)，扩展为矩阵 \( A \in R_ q^{k \times l} \)（公钥基础矩阵）。 步骤2 ：采样秘密向量 \( s_ 1 \in R_ q^l \) 和 \( s_ 2 \in R_ q^k \)，其系数服从小范围分布（如 \([ -η, η]\)），计算 \( t = A s_ 1 + s_ 2 \)。 步骤3 ：公钥为 \( (ρ, t) \)，私钥为 \( (ρ, s_ 1, s_ 2) \)。私钥需哈希处理以绑定公钥防篡改。 签名生成（Fiat-Shamir范式） 步骤1 ：采样随机掩码 \( y \in R_ q^l \)，其系数范围大于私钥（如 \([ -γ_ 1, γ_ 1 ]\)），计算 \( w = A y \)。 步骤2 ：哈希消息 \( μ \) 和 \( w \) 得到挑战多项式 \( c \in R_ q \)，其少量系数为 ±1，其余为 0。 步骤3 ：计算 \( z = y + c s_ 1 \)。若 \( z \) 系数超出安全范围 \( [ γ_ 1 - β, γ_ 1 - β ] \)（\( β \) 为阈值），则拒绝并重新采样 \( y \)（拒绝采样防信息泄漏）。 步骤4 ：计算 \( h = c s_ 2 \)，生成提示 \( h \) 的低位比特以减少签名大小。最终签名为 \( (z, h, c) \)。 签名验证 步骤1 ：从 \( h \) 恢复 \( w' = A z - c t \) 的近似值。 步骤2 ：检查 \( z \) 系数是否在范围 \( [ γ_ 1 - β, γ_ 1 - β ] \) 内，否则拒绝。 步骤3 ：重新哈希 \( (μ, w') \) 得到 \( c' \)，验证 \( c' = c \) 且提示 \( h \) 与计算一致。 安全性设计要点 拒绝采样 ：确保签名分布与私钥无关，避免侧信道攻击。 参数选择 ：平衡签名大小、速度与安全级别（如安全等级3对应128比特量子安全性）。 优化 ：使用NTT（数论变换）加速多项式乘法，减少计算开销。 通过以上步骤，Dilithium 实现了高效且抗量子攻击的数字签名，已被NIST选为后量子密码标准之一。