基于Krylov子空间的IDR(s)算法解非对称线性方程组 题目描述 IDR(s)（Induced Dimension Reduction）算法是一种用于求解大型稀疏非对称线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 的迭代方法，其中 \( A \) 是 \( n \times n \) 矩阵，\( \mathbf{x} \) 和 \( \mathbf{b} \) 是 \( n \) 维向量。该算法通过构造一组嵌套的Krylov子空间，利用短递推关系高效减少残差范数，特别适合非对称且无特殊结构（如正定）的矩阵。参数 \( s \) 控制算法的内存使用和收敛速度，平衡计算效率与稳定性。 解题过程 算法核心思想 IDR(s) 基于以下原理：若存在一个固定向量 \( \mathbf{p} \)，使得残差 \( \mathbf{r}_ k = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_ k \) 在每一步迭代中与 \( \mathbf{p} \) 正交，则残差会被限制在一系列维度递减的子空间中。具体地，定义初始残差 \( \mathbf{r}_ 0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_ 0 \)，并选择 \( s \) 个线性无关的向量构成矩阵 \( P \in \mathbb{R}^{n \times s} \)。算法通过强制残差与 \( P \) 的列正交，诱导残差进入维度逐次降低的子空间，直至收敛。 初始化步骤 选择初始解 \( \mathbf{x}_ 0 \)（通常设为零向量），计算初始残差 \( \mathbf{r}_ 0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_ 0 \)。 随机生成 \( s \) 个线性无关的向量 \( \mathbf{p}_ 1, \mathbf{p}_ 2, \dots, \mathbf{p}_ s \)，组成矩阵 \( P = [ \mathbf{p}_ 1, \mathbf{p}_ 2, \dots, \mathbf{p}_ s ] \)。 设置容忍误差 \( \epsilon \) 和最大迭代次数 \( N_ {\text{max}} \)。 主循环：维度缩减阶段 算法通过 \( s \) 步为一组的迭代降低残差子空间维度： 步骤1（计算中间残差） ： 对当前残差 \( \mathbf{r}_ k \)，求解 \( s \) 个小型线性方程组 \( P^\top A \mathbf{v} = P^\top \mathbf{r}_ k \)（通过预计算的 \( P^\top A \) 简化），得到解向量 \( \mathbf{v} \)。 步骤2（更新残差与解） ： 令 \( \mathbf{r} {k+1} = \mathbf{r} k - A\mathbf{v} \)，\( \mathbf{x} {k+1} = \mathbf{x} k + \mathbf{v} \)。此时新残差 \( \mathbf{r} {k+1} \) 满足 \( P^\top \mathbf{r} {k+1} = \mathbf{0} \)，即进入维度更低的子空间。 步骤3（判断收敛） ： 若 \( \|\mathbf{r} {k+1}\| < \epsilon \)，输出 \( \mathbf{x} {k+1} \)；否则继续。 稳定化措施：局部正交化 为避免数值误差导致子空间退化，每完成一组 \( s \) 次迭代后，用Gram-Schmidt过程重新正交化 \( P \) 的列，确保其线性独立性。同时，可通过残差多项式加速收敛，类似GMRES的重启策略。 参数 \( s \) 的选择 较小的 \( s \)（如1-4）节省内存，但收敛可能较慢；较大的 \( s \) 加速收敛，但增加计算量。实践中需根据矩阵特性调整。 总结 IDR(s) 通过系统性地限制残差子空间维度，结合短递推避免存储大量基向量，在非对称问题中平衡效率与稳定性。其优势尤其体现在求解无特殊结构的稀疏矩阵方程时，比传统GMRES或BiCGSTAB更节省内存。