CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法
字数 1853 2025-10-30 08:32:20

CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法

题目描述
CRYSTALS-Dilithium 是一种基于格上困难问题（模块化格上的短整数解问题，MLWE 和 MSIS）设计的后量子数字签名算法。其核心目标是在量子计算威胁下实现高效且安全的数字签名。题目要求解释 Dilithium 的密钥生成、签名生成和签名验证过程，重点说明其如何利用多项式环运算和拒绝采样来保证安全性。

解题过程

1. 算法背景与数学基础
Dilithium 工作在环 \(R_q = \mathbb{Z}_q[X]/(X^n + 1)\)，其中 \(n=256\)，\(q=2^{23}-2^{13}+1\)（一个素数）。密钥和签名由该环上的多项式向量或矩阵表示。安全性依赖于两个问题：

  • MLWE：区分随机多项式向量与带有小噪声的线性函数。
  • MSIS：在模 \(q\) 的线性关系中寻找短解。

2. 密钥生成过程

  1. 生成随机种子：选择随机种子 \(\rho\) 用于生成矩阵 \(A \in R_q^{k \times l}\)（通常 \(k=l=4\) 或 \(6\)）。
  2. 生成私钥：采样短向量 \((s_1, s_2)\)，其中 \(s_1 \in R_q^l\)、\(s_2 \in R_q^k\)，每个系数取自均匀分布 \(\{-\eta, \dots, \eta\}\)（例如 \(\eta=2\)）。
  3. 计算公钥：计算 \(t = A s_1 + s_2\)。公钥为 \((A, t)\)，私钥为 \((s_1, s_2)\) 和 \(\rho\)。

关键点：\(s_1, s_2\) 的系数很小，确保 \(t\) 看似随机但隐藏了私钥结构。

3. 签名生成过程（含拒绝采样）
目标：对消息 \(M\) 生成签名，避免泄露私钥。

  1. 生成掩码：采样短随机向量 \(y \in R_q^l\)，其系数范围远大于 \(\eta\)（例如 \(\gamma_1=2^{17}\)）。
  2. 计算承诺：计算 \(w = A y\)，并将其压缩为低精度向量 \(w_1\)（通过取模 \(2\gamma_2\) 实现，例如 \(\gamma_2=2^{13}\)）。
  3. 生成挑战：哈希 \((w_1, M)\) 得到挑战多项式 \(c \in R_q\)，其仅有少量非零系数（例如 Hamming 权重 \(\tau=60\)）。
  4. 计算响应：计算 \(z = y + c s_1\)。若 \(z\) 的系数超出安全范围 \([-\gamma_1+\beta, \gamma_1-\beta]\)（\(\beta\) 为容差），则返回步骤 1（拒绝采样）。
  5. 计算提示：计算 \(h = c s_2\)，并生成提示 \(h\) 的低位信息，用于辅助验证。
  6. 输出签名：签名为 \((z, h, c)\)。

关键点：拒绝采样确保 \(z\) 的分布独立于私钥，防止信息泄露。

4. 签名验证过程

  1. 恢复承诺：计算 \(w'_1 = A z - c t\)，并利用提示 \(h\) 校正舍入误差。
  2. 重新哈希：哈希 \((w'_1, M)\) 得到 \(c'\)。
  3. 验证条件：
    • 检查 \(c' = c\)。
    • 检查 \(z\) 的系数是否在 \([-\gamma_1+\beta, \gamma_1-\beta]\) 内。
  4. 结果：若均通过，则签名有效。

关键点：验证时通过 \(A z - c t = A(y + c s_1) - c (A s_1 + s_2) = A y - c s_2\)，再利用提示还原 \(w_1\)。

5. 安全性分析

  • 抗量子攻击：破解签名需解决格上的 MLWE/MSIS 问题，目前无已知量子算法有效破解。
  • 拒绝采样作用：若不使用拒绝采样，响应 \(z\) 的分布会携带 \(s_1\) 的信息，通过侧信道攻击可能恢复私钥。

总结
Dilithium 通过多项式环上的线性运算和拒绝采样，实现了在量子计算威胁下的安全签名，其效率与签名大小均优于许多后量子方案，已被 NIST 选为标准化算法。

CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法 题目描述 CRYSTALS-Dilithium 是一种基于格上困难问题（模块化格上的短整数解问题，MLWE 和 MSIS）设计的后量子数字签名算法。其核心目标是在量子计算威胁下实现高效且安全的数字签名。题目要求解释 Dilithium 的密钥生成、签名生成和签名验证过程，重点说明其如何利用多项式环运算和拒绝采样来保证安全性。 解题过程 1. 算法背景与数学基础 Dilithium 工作在环 \( R_ q = \mathbb{Z}_ q[ X ]/(X^n + 1) \)，其中 \( n=256 \)，\( q=2^{23}-2^{13}+1 \)（一个素数）。密钥和签名由该环上的多项式向量或矩阵表示。安全性依赖于两个问题： MLWE ：区分随机多项式向量与带有小噪声的线性函数。 MSIS ：在模 \( q \) 的线性关系中寻找短解。 2. 密钥生成过程 生成随机种子 ：选择随机种子 \( \rho \) 用于生成矩阵 \( A \in R_ q^{k \times l} \)（通常 \( k=l=4 \) 或 \( 6 \)）。 生成私钥 ：采样短向量 \( (s_ 1, s_ 2) \)，其中 \( s_ 1 \in R_ q^l \)、\( s_ 2 \in R_ q^k \)，每个系数取自均匀分布 \( \{-\eta, \dots, \eta\} \)（例如 \( \eta=2 \)）。 计算公钥 ：计算 \( t = A s_ 1 + s_ 2 \)。公钥为 \( (A, t) \)，私钥为 \( (s_ 1, s_ 2) \) 和 \( \rho \)。 关键点 ：\( s_ 1, s_ 2 \) 的系数很小，确保 \( t \) 看似随机但隐藏了私钥结构。 3. 签名生成过程（含拒绝采样） 目标：对消息 \( M \) 生成签名，避免泄露私钥。 生成掩码 ：采样短随机向量 \( y \in R_ q^l \)，其系数范围远大于 \( \eta \)（例如 \( \gamma_ 1=2^{17} \)）。 计算承诺 ：计算 \( w = A y \)，并将其压缩为低精度向量 \( w_ 1 \)（通过取模 \( 2\gamma_ 2 \) 实现，例如 \( \gamma_ 2=2^{13} \)）。 生成挑战 ：哈希 \( (w_ 1, M) \) 得到挑战多项式 \( c \in R_ q \)，其仅有少量非零系数（例如 Hamming 权重 \( \tau=60 \)）。 计算响应 ：计算 \( z = y + c s_ 1 \)。若 \( z \) 的系数超出安全范围 \( [ -\gamma_ 1+\beta, \gamma_ 1-\beta ] \)（\( \beta \) 为容差），则返回步骤 1（拒绝采样）。 计算提示 ：计算 \( h = c s_ 2 \)，并生成提示 \( h \) 的低位信息，用于辅助验证。 输出签名 ：签名为 \( (z, h, c) \)。 关键点 ：拒绝采样确保 \( z \) 的分布独立于私钥，防止信息泄露。 4. 签名验证过程 恢复承诺 ：计算 \( w'_ 1 = A z - c t \)，并利用提示 \( h \) 校正舍入误差。 重新哈希 ：哈希 \( (w'_ 1, M) \) 得到 \( c' \)。 验证条件 ： 检查 \( c' = c \)。 检查 \( z \) 的系数是否在 \( [ -\gamma_ 1+\beta, \gamma_ 1-\beta ] \) 内。 结果 ：若均通过，则签名有效。 关键点 ：验证时通过 \( A z - c t = A(y + c s_ 1) - c (A s_ 1 + s_ 2) = A y - c s_ 2 \)，再利用提示还原 \( w_ 1 \)。 5. 安全性分析 抗量子攻击 ：破解签名需解决格上的 MLWE/MSIS 问题，目前无已知量子算法有效破解。 拒绝采样作用 ：若不使用拒绝采样，响应 \( z \) 的分布会携带 \( s_ 1 \) 的信息，通过侧信道攻击可能恢复私钥。 总结 Dilithium 通过多项式环上的线性运算和拒绝采样，实现了在量子计算威胁下的安全签名，其效率与签名大小均优于许多后量子方案，已被 NIST 选为标准化算法。