Toeplitz矩阵快速求逆算法
题目描述
Toeplitz矩阵是一种常数对角线矩阵，即每条对角线上的元素相同，形式如下：
\[T = \begin{bmatrix} t_0 & t_{-1} & t_{-2} & \cdots & t_{-(n-1)} \\ t_1 & t_0 & t_{-1} & \cdots & t_{-(n-2)} \\ t_2 & t_1 & t_0 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & t_{-1} \\ t_{n-1} & t_{n-2} & \cdots & t_1 & t_0 \end{bmatrix} \]
问题：设计一个高效算法求解线性方程组 \(T\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中 \(T\) 是 \(n \times n\) 的Toeplitz矩阵，且 \(T\) 可逆。直接求逆的复杂度为 \(O(n^3)\)，但利用Toeplitz矩阵的结构可降至 \(O(n^2)\)。
解题过程
步骤1：利用位移性质
Toeplitz矩阵的键特性是可通过位移矩阵 \(Z\)（次对角线为1的循环移位矩阵）近似表示：
\[T Z - Z T = \mathbf{u} \mathbf{v}^T - \mathbf{w} \mathbf{z}^T, \]
其中 \(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\) 是低秩向量。此性质暗示 \(T^{-1}\) 可由少量向量表示，从而快速计算。
步骤2：构造递推关系（Levinson算法）
Levinson算法通过递归求解规模递增的Toeplitz方程组：
- 设 \(T_k\) 是 \(T\) 的 \(k \times k\) 左上子矩阵，解 \(T_k \mathbf{x}_k = \mathbf{b}_k\)（其中 \(\mathbf{b}_k\) 为 \(\mathbf{b}\) 的前 \(k\) 个分量）。
- 假设已知 \(\mathbf{x}_k\) 和 \(T_k^{-1}\) 的边界信息（首尾列），通过反射和修正扩展到 \(k+1\) 维：
- 计算反射向量 \(\mathbf{y}_k\) 满足 \(T_k \mathbf{y}_k = (t_1, t_2, \dots, t_k)^T\)。
- 利用对称性得到新解：
\[ \mathbf{x}_{k+1} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_k \\ 0 \end{bmatrix} + \alpha_{k+1} \begin{bmatrix} \mathbf{y}_k \\ -1 \end{bmatrix}, \]
其中 $ \alpha_{k+1} $ 由残差和反射向量的内积确定。
- 复杂度：每步 \(O(k)\)，总复杂度 \(O(n^2)\)。
步骤3：分治优化（Bareiss算法）
若需进一步优化至 \(O(n \log^2 n)\)，可结合分治策略：
- 将 \(T\) 划分为块Toeplitz矩阵，利用块矩阵求逆公式和FFT加速卷积运算。
- 关键步骤：通过Schur补更新逆矩阵，避免显式求逆。
总结
Toeplitz矩阵求逆的核心是利用其位移低秩性，通过递归或分治减少计算量。Levinson算法是典型 \(O(n^2)\) 方法，而基于FFT的分治算法可接近 \(O(n \log n)\)。实际应用中需考虑数值稳定性（如避免病态子矩阵）。