若 $|I_{K15} - I_{G7}| < \varepsilon$（设定容差），则接受 $I_{K15}$；否则将区间分割为两子区间递归计算。

高斯-克朗罗德积分法在振荡函数积分中的应用 题目描述 高斯-克朗罗德积分法是一种结合高斯求积与克朗罗德节点扩展的自适应数值积分方法，适用于计算定积分 \(\int_ a^b f(x)dx\)。本题要求利用该方法计算振荡函数 \(f(x) = \sin(10x)e^{-x^2}\) 在区间 \([ 0, 2 ]\) 上的积分值，并分析其通过自适应分段处理振荡行为的有效性。 解题过程 问题难点分析 振荡函数 \(\sin(10x)\) 在区间内快速震荡（周期为 \(\pi/5 \approx 0.628\)），导致传统求积公式需要极细的分段才能捕获变化。 指数衰减项 \(e^{-x^2}\) 使振幅随 \(x\) 增大而减小，但振荡频率不变，需平衡不同区间的精度需求。 高斯-克朗罗德积分法的基本原理 核心思想 ：在标准 \(n\) 点高斯求积节点（如高斯-勒让德节点）中插入 \(n+1\) 个克朗罗德节点，形成 \(2n+1\) 个节点的高精度公式，同时利用两种结果估计误差。 常用形式：以 7 点高斯求积（G7）和 15 点克朗罗德求积（K15）为例，K15 包含全部 G7 节点，可直接比较两者结果之差作为误差估计。 公式形式： \[ I_ {G7} = \sum_ {i=1}^7 w_ i^{G} f(x_ i^{G}), \quad I_ {K15} = \sum_ {j=1}^{15} w_ j^{K} f(x_ j^{K}) \] 若 \(|I_ {K15} - I_ {G7}| < \varepsilon\)（设定容差），则接受 \(I_ {K15}\)；否则将区间分割为两子区间递归计算。 自适应策略应对振荡函数 局部细化 ：在振荡剧烈区域（如 \(\sin(10x)\) 的波峰/波谷密集处），误差估计易超容差，自动触发区间分割。 衰减权重处理 ：因 \(e^{-x^2}\) 在 \(x=2\) 附近振幅减小，算法在区间 \([ 1.5, 2]\) 所需分段少于 \([ 0, 0.5 ]\)，自适应策略可避免均匀分段的冗余计算。 计算步骤示例 步骤1 ：在全局区间 \([ 0, 2]\) 计算 \(I_ {K15}\) 和 \(I_ {G7}\)，假设误差 \(|I_ {K15} - I_ {G7}| = 0.1 > \varepsilon=10^{-6}\)，分割区间为 \([ 0,1]\) 和 \([ 1,2 ]\)。 步骤2 ：对子区间 \([ 0,1]\) 计算 K15 和 G7，误差仍较大（因振荡密集），继续分割为 \([ 0,0.5]\) 和 \([ 0.5,1 ]\)。 步骤3 ：递归执行直到所有子区间满足容差。例如： \([ 0,0.25]\) 需多次分割（振荡频率高），而 \([ 1.5,2 ]\) 可能一次通过。 步骤4 ：合并所有子区间的 K15 结果作为最终积分值。 关键参数选择 节点数：常用 G7-K15 组合，平衡精度与计算量。 容差 \(\varepsilon\)：根据精度需求设定，如 \(10^{-6}\)。 最大递归深度：防止过度分割（如设定深度上限为 20）。 效果分析 对比复合辛普森法：自适应高斯-克朗罗德在振荡区域自动加密节点，在平滑区域减少计算，总体效率更高。 误差控制：通过局部误差估计确保全局误差受 \(\varepsilon\) 控制。 总结 高斯-克朗罗德积分法通过动态调整分段策略，有效处理振荡函数的积分问题，避免全局均匀分段的浪费，兼具高精度和计算效率。