排序算法之：梳排序（Comb Sort）的进阶优化与性能分析

题目描述
给定一个整数数组 nums，要求使用 梳排序（Comb Sort） 算法对其进行升序排序。梳排序是冒泡排序的改进版，通过引入一个逐渐缩小的 间隔因子（shrink factor） 来比较和交换距离较远的元素，从而提前消除数组末端的“乌龟”（小值元素缓慢移动的问题）。本题需实现基础梳排序，并分析其时间复杂度，进一步探讨间隔因子的优化策略（如使用动态调整的间隔序列）以提升性能。

解题过程

1. 梳排序的基本思想
梳排序的核心是 消除乌龟现象。冒泡排序只比较相邻元素，导致小值元素每次只能移动一位，效率低下（O(n²)）。梳排序通过 较大的初始间隔（通常为数组长度）比较和交换元素，使小值能快速移动到正确位置，随后逐步缩小间隔，最终用间隔为1完成排序（此时等同于冒泡排序，但数组已近乎有序）。

2. 关键参数：间隔与收缩因子

• 初始间隔（gap）：设为数组长度 n。
• 收缩因子（shrink）：通常取 1.3（经验值，由作者通过实验确定），用于每次迭代后缩小间隔：gap = floor(gap / shrink)。
• 终止条件：当 gap = 1 且本轮无交换时，排序完成。

3. 基础算法步骤

1. 初始化 gap = n，swapped = true。
2. 当 gap > 1 或 swapped 为真时循环：
   • 更新 gap = max(1, floor(gap / 1.3))（确保间隔至少为1）。
   • 设置 swapped = false。
   • 遍历数组，比较每对相距 gap 的元素 nums[i] 和 nums[i + gap]，若逆序则交换，并标记 swapped = true。
3. 返回排序后的数组。

示例（数组 [5, 2, 9, 1, 5, 6]，收缩因子1.3）：

• 初始 gap = 6：比较并交换 5↔6（无交换），gap = floor(6/1.3)=4。
• gap = 4：比较 5↔5、2↔6（无交换），gap=3。
• gap=3：比较 5↔1（交换→[1,2,9,5,5,6]）、2↔5（无）、9↔6（交换→[1,2,6,5,5,9]），gap=2。
• gap=2：多轮比较交换，数组逐步有序。
• 最终 gap=1 时，数组已基本有序，少量冒泡操作即可完成。

4. 时间复杂度分析

• 最坏情况：O(n²)（如逆序数组，但概率极低）。
• 平均情况：实验证明接近 O(n log n)，优于冒泡排序。
• 性能依赖收缩因子：1.3 是平衡效率的常用值。

5. 进阶优化：动态间隔序列
固定收缩因子（如1.3）可能非最优。可改用 动态序列：

• 素数间隔序列：使用小于n的素数作为间隔（如23, 19, 17, 13...），避免重复比较。
• 基于斐波那契数列：间隔按斐波那契数递减，减少冗余操作。
  优化后平均时间复杂度可进一步接近 O(n log n)。

6. 代码实现（基础版本）

def comb_sort(nums):
    n = len(nums)
    gap = n
    swapped = True
    while gap > 1 or swapped:
        gap = max(1, int(gap / 1.3))  # 确保间隔≥1
        swapped = False
        for i in range(n - gap):
            if nums[i] > nums[i + gap]:
                nums[i], nums[i + gap] = nums[i + gap], nums[i]
                swapped = True
    return nums

总结
梳排序通过“梳子”式大间隔比较，有效加速小值移动，在平均情况下显著优于冒泡排序。优化间隔序列可进一步提升性能，适用于中等规模数据排序。