列生成算法在多重背包问题中的应用示例
字数 1917 2025-10-30 08:32:20

列生成算法在多重背包问题中的应用示例

题目描述
考虑一个多重背包问题：假设有 \(n\) 种物品，每种物品 \(i\) 的价值为 \(p_i\)，重量为 \(w_i\)，且最多可选取 \(b_i\) 个（\(b_i\) 为有限整数）。背包的总容量限制为 \(C\)。目标是在不超过背包容量的前提下，选择物品（每种物品可选多个，但不超过 \(b_i\)），使得总价值最大。该问题可建模为整数规划，但直接求解效率低。列生成算法通过将问题分解为主问题（限制主问题）和子问题（定价问题），逐步生成有价值的列（即物品的选取模式）来逼近最优解。

解题过程

  1. 问题建模
    标准整数规划模型为：

\[ \max \sum_{i=1}^n p_i x_i \]

\[ \text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^n w_i x_i \leq C, \quad 0 \leq x_i \leq b_i, \quad x_i \in \mathbb{Z}^+. \]

其中 \(x_i\) 表示选择物品 \(i\) 的数量。直接求解该模型在 \(n\) 较大时计算复杂。

  1. 列生成框架
    • 主问题（Master Problem, MP）：
      将物品选取模式视为列。设 \(\lambda_j\) 表示使用第 \(j\) 种模式的比例（连续松弛），模式 \(j\) 由向量 \(a_j = (a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{nj})\) 定义，其中 \(a_{ij}\) 表示该模式下物品 \(i\) 的数量。主问题为：

\[ \max \sum_j \left( \sum_{i=1}^n p_i a_{ij} \right) \lambda_j \]

\[ \text{s.t.} \quad \sum_j \left( \sum_{i=1}^n w_i a_{ij} \right) \lambda_j \leq C, \quad \sum_j \lambda_j \leq 1, \quad \lambda_j \geq 0. \]

 初始时，主问题包含少量列（如空模式或简单启发式生成的列）。
  • 限制主问题（Restricted Master Problem, RMP）：
    仅使用已生成列的子集求解主问题的线性松弛。
  1. 定价问题（Pricing Problem）
    • 计算当前 RMP 的对偶变量：设容量约束的对偶变量为 \(\pi\)，模式数量约束的对偶变量为 \(\sigma\)。
    • 子问题目标是找到减少成本（reduced cost）最大的列，即求解：

\[ \max \sum_{i=1}^n p_i a_i - \pi \left( \sum_{i=1}^n w_i a_i \right) - \sigma \]

\[ \text{s.t.} \quad 0 \leq a_i \leq b_i, \quad a_i \in \mathbb{Z}^+. \]

 该问题实际是一个单约束背包问题（每个物品有数量上限），可用动态规划快速求解。若最大减少成本非正，则当前解为最优；否则，将新列加入 RMP。

  1. 迭代步骤

    • 步骤 1：初始化 RMP，包含可行列（如空列）。
    • 步骤 2：求解 RMP 的线性松弛，得到对偶变量 \(\pi\) 和 \(\sigma\)。
    • 步骤 3：求解定价问题，若最大减少成本 \(\leq 0\)，停止迭代；否则，将新列加入 RMP。
    • 步骤 4：重复步骤 2–3 直至收敛。
    • 步骤 5：最终通过整数规划求解器处理 RMP 的整数约束（如需整数解）。

  2. 示例说明
    假设有 3 种物品：

    • 物品 1：\(p_1=10, w_1=5, b_1=2\)
    • 物品 2：\(p_2=8, w_2=3, b_2=3\)
    • 物品 3：\(p_3=6, w_3=2, b_3=4\)
      背包容量 \(C=10\)。
      • 初始列：空列（价值 0，重量 0）。
      • 第一次迭代：定价问题求解得新列 \(a=(2,0,0)\)（价值 20，重量 10），减少成本为 20。加入后 RMP 更新。
      • 后续迭代生成更优列（如混合模式），直至减少成本非正。

关键点

  • 列生成通过动态生成列避免枚举所有可能模式，适合大规模问题。
  • 定价问题需高效求解（如动态规划），确保算法效率。
  • 最终可能需结合分支定界获得整数解（分支定价）。
列生成算法在多重背包问题中的应用示例 题目描述 考虑一个多重背包问题：假设有 \( n \) 种物品，每种物品 \( i \) 的价值为 \( p_ i \)，重量为 \( w_ i \)，且最多可选取 \( b_ i \) 个（\( b_ i \) 为有限整数）。背包的总容量限制为 \( C \)。目标是在不超过背包容量的前提下，选择物品（每种物品可选多个，但不超过 \( b_ i \)），使得总价值最大。该问题可建模为整数规划，但直接求解效率低。列生成算法通过将问题分解为主问题（限制主问题）和子问题（定价问题），逐步生成有价值的列（即物品的选取模式）来逼近最优解。 解题过程 问题建模 标准整数规划模型为： \[ \max \sum_ {i=1}^n p_ i x_ i \] \[ \text{s.t.} \quad \sum_ {i=1}^n w_ i x_ i \leq C, \quad 0 \leq x_ i \leq b_ i, \quad x_ i \in \mathbb{Z}^+. \] 其中 \( x_ i \) 表示选择物品 \( i \) 的数量。直接求解该模型在 \( n \) 较大时计算复杂。 列生成框架 主问题（Master Problem, MP） ： 将物品选取模式视为列。设 \( \lambda_ j \) 表示使用第 \( j \) 种模式的比例（连续松弛），模式 \( j \) 由向量 \( a_ j = (a_ {1j}, a_ {2j}, \dots, a_ {nj}) \) 定义，其中 \( a_ {ij} \) 表示该模式下物品 \( i \) 的数量。主问题为： \[ \max \sum_ j \left( \sum_ {i=1}^n p_ i a_ {ij} \right) \lambda_ j \] \[ \text{s.t.} \quad \sum_ j \left( \sum_ {i=1}^n w_ i a_ {ij} \right) \lambda_ j \leq C, \quad \sum_ j \lambda_ j \leq 1, \quad \lambda_ j \geq 0. \] 初始时，主问题包含少量列（如空模式或简单启发式生成的列）。 限制主问题（Restricted Master Problem, RMP） ： 仅使用已生成列的子集求解主问题的线性松弛。 定价问题（Pricing Problem） 计算当前 RMP 的对偶变量：设容量约束的对偶变量为 \( \pi \)，模式数量约束的对偶变量为 \( \sigma \)。 子问题目标是找到减少成本（reduced cost）最大的列，即求解： \[ \max \sum_ {i=1}^n p_ i a_ i - \pi \left( \sum_ {i=1}^n w_ i a_ i \right) - \sigma \] \[ \text{s.t.} \quad 0 \leq a_ i \leq b_ i, \quad a_ i \in \mathbb{Z}^+. \] 该问题实际是一个单约束背包问题（每个物品有数量上限），可用动态规划快速求解。若最大减少成本非正，则当前解为最优；否则，将新列加入 RMP。 迭代步骤 步骤 1 ：初始化 RMP，包含可行列（如空列）。 步骤 2 ：求解 RMP 的线性松弛，得到对偶变量 \( \pi \) 和 \( \sigma \)。 步骤 3 ：求解定价问题，若最大减少成本 \( \leq 0 \)，停止迭代；否则，将新列加入 RMP。 步骤 4 ：重复步骤 2–3 直至收敛。 步骤 5 ：最终通过整数规划求解器处理 RMP 的整数约束（如需整数解）。 示例说明 假设有 3 种物品： 物品 1：\( p_ 1=10, w_ 1=5, b_ 1=2 \) 物品 2：\( p_ 2=8, w_ 2=3, b_ 2=3 \) 物品 3：\( p_ 3=6, w_ 3=2, b_ 3=4 \) 背包容量 \( C=10 \)。 初始列：空列（价值 0，重量 0）。 第一次迭代：定价问题求解得新列 \( a=(2,0,0) \)（价值 20，重量 10），减少成本为 20。加入后 RMP 更新。 后续迭代生成更优列（如混合模式），直至减少成本非正。 关键点 列生成通过动态生成列避免枚举所有可能模式，适合大规模问题。 定价问题需高效求解（如动态规划），确保算法效率。 最终可能需结合分支定界获得整数解（分支定价）。