排序算法之：梳排序（Comb Sort）的进阶优化与性能分析 题目描述 梳排序是冒泡排序的一种改进算法，由 Włodzimierz Dobosiewicz 于 1980 年提出，后由 Stephen Lacey 和 Richard Box 重新发现并命名。其核心思想是通过较大的间隔比较和交换元素，逐步减小间隔至 1，最终完成排序。本题要求实现梳排序，并分析其时间复杂度的优化策略，包括收缩因子的选择对性能的影响。 解题过程 1. 算法基础原理 梳排序的灵感来源于梳子齿的间距由宽变窄的过程。它通过一个称为“间隔”（gap）的变量控制比较距离，初始间隔通常设为数组长度，并逐步除以收缩因子（通常取 1.3），直到间隔为 1。 每轮遍历中，算法会比较相距当前间隔的元素，若逆序则交换，类似冒泡排序但跳过了多个元素，从而更快地将大元素移至正确位置。 2. 算法步骤详解 步骤 1 ：初始化间隔 gap = n （数组长度），设置收缩因子 shrink = 1.3 ，并标志 sorted = false 。 步骤 2 ：当 gap > 1 或 sorted 为 false 时循环： 更新间隔： gap = floor(gap / shrink) ，且确保 gap ≥ 1 。 设置 sorted = true （假设本轮已排序）。 遍历数组从索引 i = 0 到 n - gap - 1 ： 比较 arr[i] 和 arr[i + gap] ，若 arr[i] > arr[i + gap] ，则交换两者，并设置 sorted = false 。 步骤 3 ：当间隔降至 1 时，最后一轮相当于冒泡排序，确保数组完全有序。 3. 关键优化点 收缩因子的选择 ： 经验表明，1.3 是最优收缩因子（通过实验测得），能平衡间隔减少速度和元素移动效率。若因子过小（如 1.1），间隔下降慢，浪费比较次数；因子过大（如 2.0），则可能过早退化为冒泡排序。 数学证明：当收缩因子为 1.3 时，平均时间复杂度接近 O(n log n)。 提前终止机制 ： 在每轮遍历中，若未发生交换（ sorted 保持 true），可提前终止循环，优化最好情况下的性能（如数组已排序时达到 O(n)）。 4. 时间复杂度分析 最坏情况 ：O(n²)，但概率极低，通常出现在特定序列下（如数组逆序且间隔序列不佳时）。 平均情况 ：O(n² / 2^p)（p 为间隔减少次数），实践中接近 O(n log n)。 最好情况 ：O(n)（数组已排序时，通过提前终止实现）。 5. 与冒泡排序的对比 冒泡排序每次只比较相邻元素，而梳排序通过大间隔比较，能快速消除远处的逆序对，减少总体交换次数。 示例：数组 [8, 4, 1, 3, 2] ，初始间隔 gap=5/1.3≈3： 第一轮比较索引 0 和 3（8 和 3）、1 和 4（4 和 2），交换后得 [3, 2, 1, 8, 4] 。 后续间隔减少，逐步精细化排序。 6. 实际应用场景 梳排序适用于中小规模数据排序，尤其在内存受限时比快速排序更稳定（无需递归栈）。 在嵌入式系统或实时系统中，因其代码简单且平均性能较好，常作为冒泡排序的替代方案。 通过以上步骤，梳排序在保持低实现复杂度的同时，显著提升了冒泡排序的效率，其优化策略体现了算法设计中“先粗后精”的智慧。