自适应辛普森积分法的误差控制与递归实现 题目描述 计算定积分 ∫ₐᵇ f(x)dx，其中 f(x) = sin(x²)（振荡函数）。要求使用自适应辛普森积分法，通过递归划分区间和误差估计，使结果精度达到 10⁻⁶。 解题过程 基础辛普森公式 在区间 [ a, b ] 上，辛普森公式近似为： S(a, b) = (b - a)/6 · [ f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b) ] 此公式对三次以下多项式精确成立。 误差控制原理 将 [ a, b] 等分为两个子区间 [ a, m] 和 [ m, b ]（m = (a+b)/2），分别应用辛普森公式： S₁ = S(a, m), S₂ = S(m, b), S_ total = S₁ + S₂ 若 |S_ total - S(a, b)| ≤ 15·ε₀（ε₀ 为预设容差，如 10⁻⁶），则认为 S_ total 足够精确；否则递归划分子区间。 递归实现步骤 步骤1 ：定义递归函数 adaptive_simpson(a, b, ε, f) ，计算当前区间 [ a, b ] 的积分。 步骤2 ：计算中点 m = (a+b)/2，并求出： S_ whole = S(a, b) S_ left = S(a, m), S_ right = S(m, b) S_ split = S_ left + S_ right 步骤3 ：误差估计 δ = |S_ split - S_ whole|。若 δ ≤ 15ε，返回 S_ split 作为积分值（Richardson 外推可提升精度至 O(h⁶)）。 步骤4 ：若 δ > 15ε，递归计算两个子区间： 返回 adaptive_simpson(a, m, ε/2, f) + adaptive_simpson(m, b, ε/2, f) （容差 ε/2 确保子区间误差累积不超过总容差）。 应用示例：f(x) = sin(x²) 在 [ 0, 2] 的积分 初始化 a=0, b=2, ε=1e-6。 第一层计算：S_ whole 与 S_ split 差异较大，触发递归。 递归深入振荡频繁区域（如 x>1 时 sin(x²) 周期缩短），自动细化步长。 终止条件：所有子区间满足误差要求，总积分值收敛至 0.804776（精确到 10⁻⁶）。 关键优势 自适应局部加密避免全局均匀划分，高效处理振荡函数。 误差控制避免过度计算，平衡精度与效率。 总结 ：该方法通过递归划分和误差比较，动态优化区间划分，特别适合像 sin(x²) 这样振荡频繁的被积函数。