基于线性规划的随机规划机会约束模型求解示例 题目描述 考虑一个电力公司的发电计划问题。公司需要决定两种发电机（燃煤和燃气）的启动数量，以满足未来一天的电力需求。燃煤发电机每台成本为500元/天，但启动后至少需要运行8小时；燃气发电机每台成本为800元/天，可以灵活启停。每台燃煤发电机可提供50MW电力，燃气发电机可提供30MW电力。 电力需求存在不确定性：白天（12小时）需求d1服从正态分布N(1000, 100²)MW，夜晚（12小时）需求d2服从正态分布N(700, 80²)MW。公司要求满足需求的概率不低于95%（即机会约束）。 设x1为燃煤发电机数量，x2为燃气发电机数量。目标是最小化总成本，且满足概率约束下的供需平衡。 建立模型 决策变量：x1, x2 ≥ 0（整数约束暂放松为连续） 目标函数：min 500x1 + 800x2 机会约束： 白天：P(50x1 + 30x2 ≥ d1) ≥ 0.95 夜晚：P(50x1 + 30x2 ≥ d2) ≥ 0.95 随机规划处理 由于d1～N(1000,100²)，d2～N(700,80²)，利用正态分布性质转换机会约束： 对于白天约束：P(50x1+30x2 ≥ d1) = P(Z ≤ (50x1+30x2-1000)/100) ≥ 0.95 查标准正态分布表，Φ(1.645) ≈ 0.95，因此需满足： (50x1+30x2-1000)/100 ≥ 1.645 → 50x1+30x2 ≥ 1000+100×1.645 = 1164.5 同理处理夜晚约束： (50x1+30x2-700)/80 ≥ 1.645 → 50x1+30x2 ≥ 700+80×1.645 = 831.6 确定性等价模型 将机会约束转化为线性约束后，得到确定性线性规划： min 500x1 + 800x2 s.t. 50x1 + 30x2 ≥ 1164.5 (白天可靠性约束) 50x1 + 30x2 ≥ 831.6 (夜晚可靠性约束) x1, x2 ≥ 0 求解过程 观察约束：第二个约束（831.6）比第一个（1164.5）宽松，因此第一个约束是紧约束 图形法分析：在x1-x2平面中，目标函数等值线沿梯度方向(-500,-800)移动，最先接触可行域的点在直线50x1+30x2=1164.5上 枚举顶点： 若x1=0，则30x2≥1164.5 → x2≥38.82，成本=800×38.82=31056 若x2=0，则50x1≥1164.5 → x1≥23.29，成本=500×23.29=11645 寻找交点：联立50x1+30x2=1164.5和x2=0，得x1=23.29, x2=0 灵敏度分析 考虑概率阈值变化的影响： 若置信水平从95%提高到99%（对应z=2.326）： 白天约束变为50x1+30x2 ≥ 1000+100×2.326 = 1232.6 此时x1≥24.65，成本增加至12325元 实际应用考虑 整数约束：实际中x1,x2需取整，四舍五入后需验证是否仍满足概率约束 随机性建模：若需求非正态分布，需采用更复杂的转换方法或蒙特卡洛模拟 联合机会约束：若要求同时满足日夜约束的概率≥95%，模型将变为非线性 结论 通过将随机机会约束转换为确定性等价形式，原本的随机规划问题可有效求解。该方法的关键在于利用概率分布的特性，将概率约束转化为线性约束，使问题适用于常规线性规划算法。