Rabin密码系统
字数 2285 2025-10-29 22:18:21

Rabin密码系统

题目描述
Rabin密码系统是一种基于模数合数平方根计算困难性的公钥加密算法，由Michael Rabin在1979年提出。其安全性依赖于大整数分解问题的难度，与RSA类似，但具有更严格的安全证明：破译Rabin密码的难度等价于大整数分解。算法包含密钥生成、加密和解密三个步骤。本题要求理解其数学原理，并解决一个具体问题：

  • 给定公钥 \(n = 77\)，明文 \(m = 20\)，计算密文 \(c\)。
  • 给定私钥 \((p, q) = (7, 11)\)，密文 \(c = 15\)，恢复所有可能的明文。

解题过程

1. 密钥生成

  • 选择两个大素数 \(p\) 和 \(q\)，满足 \(p \equiv q \equiv 3 \pmod{4}\)（简化解密过程）。
  • 计算 \(n = p \times q\) 作为公钥，私钥为 \((p, q)\)。
    • 本例中，\(p = 7\)，\(q = 11\)，满足 \(7 \equiv 3 \pmod{4}\) 且 \(11 \equiv 3 \pmod{4}\)。
    • 公钥 \(n = 7 \times 11 = 77\)。

2. 加密过程

  • 明文 \(m\) 需满足 \(0 \leq m < n\)。
  • 密文计算公式：\(c = m^2 \bmod n\)。
    • 对 \(m = 20\)：

\[ c = 20^2 \bmod 77 = 400 \bmod 77 = 400 - 5 \times 77 = 400 - 385 = 15. \]

  • 因此密文 \(c = 15\)。

3. 解密过程
解密的核心是求解方程 \(m^2 \equiv c \pmod{n}\)。由于 \(n = p \times q\)，需分别模 \(p\) 和 \(q\) 计算平方根，再用中国剩余定理（CRT）组合结果。

步骤 3.1：计算 \(c\) 模 \(p\) 和 \(q\) 的平方根

  • 计算 \(c_p = c \bmod p = 15 \bmod 7 = 1\)。
  • 计算 \(c_q = c \bmod q = 15 \bmod 11 = 4\)。

利用性质：若 \(p \equiv 3 \pmod{4}\)，则 \(c^{(p+1)/4} \bmod p\) 是 \(c \bmod p\) 的平方根之一。

  • 模 \(p = 7\)：

\[ m_p = c_p^{(7+1)/4} \bmod 7 = 1^{2} \bmod 7 = 1. \]

另一个平方根为 \(-m_p \bmod 7 = 6\)。

  • 模 \(q = 11\)：

\[ m_q = c_q^{(11+1)/4} \bmod 11 = 4^{3} \bmod 11 = 64 \bmod 11 = 9. \]

另一个平方根为 \(-m_q \bmod 11 = 2\)。

步骤 3.2：中国剩余定理组合
得到四组方程组合：

  1. \(m \equiv 1 \pmod{7}\)，\(m \equiv 9 \pmod{11}\)
  2. \(m \equiv 1 \pmod{7}\)，\(m \equiv 2 \pmod{11}\)
  3. \(m \equiv 6 \pmod{7}\)，\(m \equiv 9 \pmod{11}\)
  4. \(m \equiv 6 \pmod{7}\)，\(m \equiv 2 \pmod{11}\)

以第一组为例：

  • \(m = 7k + 1\)，代入 \(7k + 1 \equiv 9 \pmod{11}\)

\[ 7k \equiv 8 \pmod{11} \implies k \equiv 8 \times 7^{-1} \pmod{11}. \]

求 \(7^{-1} \pmod{11}\)：由 \(7 \times 8 = 56 \equiv 1 \pmod{11}\)，得 \(k \equiv 8 \times 8 = 64 \equiv 9 \pmod{11}\)。
取 \(k = 9\)，则 \(m = 7 \times 9 + 1 = 64\)。

同理计算其他组合：

  • 第二组：\(m \equiv 1 \pmod{7}\)，\(m \equiv 2 \pmod{11} \Rightarrow m = 57\)。
  • 第三组：\(m \equiv 6 \pmod{7}\)，\(m \equiv 9 \pmod{11} \Rightarrow m = 13\)。
  • 第四组：\(m \equiv 6 \pmod{7}\)，\(m \equiv 2 \pmod{11} \Rightarrow m = 20\)。

步骤 3.3：确定有效明文
四个解为 \(\{64, 57, 13, 20\}\)。需通过编码规则（如明文填充）识别正确明文。本例中，原始明文为 \(20\)，但其他解也可能对应有效信息，因此Rabin密码需结合冗余信息避免歧义。

总结

  • Rabin加密为确定性算法，但解密会产生多个候选值。
  • 安全性基于分解 \(n\) 的困难性，且攻击者无法区分哪个解是真实明文。
  • 实际应用中需通过填充方案（如PKCS#1）确保明文唯一性。
Rabin密码系统 题目描述 Rabin密码系统是一种基于模数合数平方根计算困难性的公钥加密算法，由Michael Rabin在1979年提出。其安全性依赖于大整数分解问题的难度，与RSA类似，但具有更严格的安全证明：破译Rabin密码的难度等价于大整数分解。算法包含密钥生成、加密和解密三个步骤。本题要求理解其数学原理，并解决一个具体问题： 给定公钥 \( n = 77 \)，明文 \( m = 20 \)，计算密文 \( c \)。 给定私钥 \( (p, q) = (7, 11) \)，密文 \( c = 15 \)，恢复所有可能的明文。 解题过程 1. 密钥生成 选择两个大素数 \( p \) 和 \( q \)，满足 \( p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} \)（简化解密过程）。 计算 \( n = p \times q \) 作为公钥，私钥为 \( (p, q) \)。 本例中，\( p = 7 \)，\( q = 11 \)，满足 \( 7 \equiv 3 \pmod{4} \) 且 \( 11 \equiv 3 \pmod{4} \)。 公钥 \( n = 7 \times 11 = 77 \)。 2. 加密过程 明文 \( m \) 需满足 \( 0 \leq m < n \)。 密文计算公式：\( c = m^2 \bmod n \)。 对 \( m = 20 \)： \[ c = 20^2 \bmod 77 = 400 \bmod 77 = 400 - 5 \times 77 = 400 - 385 = 15. \] 因此密文 \( c = 15 \)。 3. 解密过程 解密的核心是求解方程 \( m^2 \equiv c \pmod{n} \)。由于 \( n = p \times q \)，需分别模 \( p \) 和 \( q \) 计算平方根，再用中国剩余定理（CRT）组合结果。 步骤 3.1：计算 \( c \) 模 \( p \) 和 \( q \) 的平方根 计算 \( c_ p = c \bmod p = 15 \bmod 7 = 1 \)。 计算 \( c_ q = c \bmod q = 15 \bmod 11 = 4 \)。 利用性质：若 \( p \equiv 3 \pmod{4} \)，则 \( c^{(p+1)/4} \bmod p \) 是 \( c \bmod p \) 的平方根之一。 模 \( p = 7 \) ： \[ m_ p = c_ p^{(7+1)/4} \bmod 7 = 1^{2} \bmod 7 = 1. \] 另一个平方根为 \( -m_ p \bmod 7 = 6 \)。 模 \( q = 11 \) ： \[ m_ q = c_ q^{(11+1)/4} \bmod 11 = 4^{3} \bmod 11 = 64 \bmod 11 = 9. \] 另一个平方根为 \( -m_ q \bmod 11 = 2 \)。 步骤 3.2：中国剩余定理组合 得到四组方程组合： \( m \equiv 1 \pmod{7} \)，\( m \equiv 9 \pmod{11} \) \( m \equiv 1 \pmod{7} \)，\( m \equiv 2 \pmod{11} \) \( m \equiv 6 \pmod{7} \)，\( m \equiv 9 \pmod{11} \) \( m \equiv 6 \pmod{7} \)，\( m \equiv 2 \pmod{11} \) 以第一组为例： \( m = 7k + 1 \)，代入 \( 7k + 1 \equiv 9 \pmod{11} \) \[ 7k \equiv 8 \pmod{11} \implies k \equiv 8 \times 7^{-1} \pmod{11}. \] 求 \( 7^{-1} \pmod{11} \)：由 \( 7 \times 8 = 56 \equiv 1 \pmod{11} \)，得 \( k \equiv 8 \times 8 = 64 \equiv 9 \pmod{11} \)。 取 \( k = 9 \)，则 \( m = 7 \times 9 + 1 = 64 \)。 同理计算其他组合： 第二组：\( m \equiv 1 \pmod{7} \)，\( m \equiv 2 \pmod{11} \Rightarrow m = 57 \)。 第三组：\( m \equiv 6 \pmod{7} \)，\( m \equiv 9 \pmod{11} \Rightarrow m = 13 \)。 第四组：\( m \equiv 6 \pmod{7} \)，\( m \equiv 2 \pmod{11} \Rightarrow m = 20 \)。 步骤 3.3：确定有效明文 四个解为 \( \{64, 57, 13, 20\} \)。需通过编码规则（如明文填充）识别正确明文。本例中，原始明文为 \( 20 \)，但其他解也可能对应有效信息，因此Rabin密码需结合冗余信息避免歧义。 总结 Rabin加密为确定性算法，但解密会产生多个候选值。 安全性基于分解 \( n \) 的困难性，且攻击者无法区分哪个解是真实明文。 实际应用中需通过填充方案（如PKCS#1）确保明文唯一性。