基于线性规划的图匹配问题求解示例

字数 2515 2025-10-29 22:18:21

基于线性规划的图匹配问题求解示例

题目描述
考虑一个二分图 \(G = (U, V, E)\)，其中 \(U = \{u_1, u_2, \dots, u_m\}\) 和 \(V = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}\) 是两个不相交的顶点集合，\(E \subseteq U \times V\) 是边集。每条边 \((u_i, v_j)\) 有一个权重 \(w_{ij}\)。图匹配问题要求找到一个匹配（即边集中任意两条边不共享公共顶点），使得匹配中边的权重之和最大。若要求匹配覆盖所有顶点，则成为完美匹配问题。本示例以最大权二分图匹配为例，展示如何通过线性规划建模并求解。

解题过程

1. 问题建模

定义决策变量 \(x_{ij} \in \{0, 1\}\)，其中 \(x_{ij} = 1\) 表示边 \((u_i, v_j)\) 被选入匹配，否则为 0。
目标函数：最大化总权重 \(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n w_{ij} x_{ij}\)。
约束条件：每个顶点最多与一条边相连。对于 \(U\) 中的每个顶点 \(u_i\)，有 \(\sum_{j=1}^n x_{ij} \leq 1\)；对于 \(V\) 中的每个顶点 \(v_j\)，有 \(\sum_{i=1}^m x_{ij} \leq 1\)。
整数规划模型：

\[ \begin{align} \max \quad & \sum_{i,j} w_{ij} x_{ij} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{j=1}^n x_{ij} \leq 1, \quad \forall i = 1,\dots,m \\ & \sum_{i=1}^m x_{ij} \leq 1, \quad \forall j = 1,\dots,n \\ & x_{ij} \in \{0, 1\}, \quad \forall i,j \end{align} \]

2. 线性规划松弛

将整数约束 \(x_{ij} \in \{0,1\}\) 松弛为 \(0 \leq x_{ij} \leq 1\)，得到线性规划问题：

\[ \begin{align} \max \quad & \sum_{i,j} w_{ij} x_{ij} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{j} x_{ij} \leq 1, \quad \forall i \\ & \sum_{i} x_{ij} \leq 1, \quad \forall j \\ & x_{ij} \geq 0, \quad \forall i,j \end{align} \]

注意：约束 \(x_{ij} \leq 1\) 可省略，因为其他约束已隐含此条件。

3. 线性规划的特殊性质

该线性规划的约束矩阵是全单模矩阵（所有子方阵的行列式为 0 或 ±1）。
全单模性保证线性规划的最优解是整数解（即 \(x_{ij} = 0\) 或 1），因此松弛后的线性规划最优解即为原整数规划的最优解。
这一性质使得我们可以直接使用单纯形法等线性规划算法求解，而无需担心分数解。

4. 求解步骤示例
假设有一个二分图：

\(U = \{u_1, u_2\}, V = \{v_1, v_2, v_3\}\)
边权重矩阵 \(w_{ij}\) 为：

\[ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 2 \end{bmatrix} \]

线性规划模型：

\[ \begin{align} \max \quad & 3x_{11} + 2x_{12} + 4x_{13} + 1x_{21} + 5x_{22} + 2x_{23} \\ \text{s.t.} \quad & x_{11} + x_{12} + x_{13} \leq 1 \\ & x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq 1 \\ & x_{11} + x_{21} \leq 1 \\ & x_{12} + x_{22} \leq 1 \\ & x_{13} + x_{23} \leq 1 \\ & x_{ij} \geq 0 \end{align} \]

5. 单纯形法求解（简要过程）

引入松弛变量 \(s_1, s_2\)（对于 \(U\) 的约束）和 \(t_1, t_2, t_3\)（对于 \(V\) 的约束），构造初始单纯形表。
迭代过程：
1. 选择最大正系数变量（如 \(x_{22}\)，权重 5）进入基变量。
2. 通过最小比值测试确定离基变量（约束 \(x_{12} + x_{22} \leq 1\) 和 \(x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq 1\) 限制 \(x_{22} \leq 1\)）。
3. 更新基变量后，目标函数值增加 5。
4. 继续选择 \(x_{13}\)（权重 4）进入基变量，最终得到最优解：

\[ x_{13} = 1, \quad x_{22} = 1, \quad \text{其他 } x_{ij} = 0, \quad \text{最优值 } = 4 + 5 = 9. \]

验证：匹配边为 \((u_1, v_3)\) 和 \((u_2, v_2)\)，权重和 9 为最大值。

6. 一般化与扩展

若图不是二分图（如一般图匹配），需使用Edmonds开花算法等专门方法。
线性规划方法可扩展至带容量约束的匹配问题（如分配问题中顶点可连接多条边）。

通过以上步骤，线性规划有效解决了最大权二分图匹配问题，全单模性保证了整数解的直接获得。

基于线性规划的图匹配问题求解示例题目描述考虑一个二分图 \( G = (U, V, E) \)，其中 \( U = \{u_ 1, u_ 2, \dots, u_ m\} \) 和 \( V = \{v_ 1, v_ 2, \dots, v_ n\} \) 是两个不相交的顶点集合，\( E \subseteq U \times V \) 是边集。每条边 \( (u_ i, v_ j) \) 有一个权重 \( w_ {ij} \)。图匹配问题要求找到一个匹配（即边集中任意两条边不共享公共顶点），使得匹配中边的权重之和最大。若要求匹配覆盖所有顶点，则成为完美匹配问题。本示例以最大权二分图匹配为例，展示如何通过线性规划建模并求解。解题过程 1. 问题建模定义决策变量 \( x_ {ij} \in \{0, 1\} \)，其中 \( x_ {ij} = 1 \) 表示边 \( (u_ i, v_ j) \) 被选入匹配，否则为 0。目标函数：最大化总权重 \( \sum_ {i=1}^m \sum_ {j=1}^n w_ {ij} x_ {ij} \)。约束条件：每个顶点最多与一条边相连。对于 \( U \) 中的每个顶点 \( u_ i \)，有 \( \sum_ {j=1}^n x_ {ij} \leq 1 \)；对于 \( V \) 中的每个顶点 \( v_ j \)，有 \( \sum_ {i=1}^m x_ {ij} \leq 1 \)。整数规划模型： \[ \begin{align} \max \quad & \sum_ {i,j} w_ {ij} x_ {ij} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {j=1}^n x_ {ij} \leq 1, \quad \forall i = 1,\dots,m \\ & \sum_ {i=1}^m x_ {ij} \leq 1, \quad \forall j = 1,\dots,n \\ & x_ {ij} \in \{0, 1\}, \quad \forall i,j \end{align} \] 2. 线性规划松弛将整数约束 \( x_ {ij} \in \{0,1\} \) 松弛为 \( 0 \leq x_ {ij} \leq 1 \)，得到线性规划问题： \[ \begin{align} \max \quad & \sum_ {i,j} w_ {ij} x_ {ij} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {j} x_ {ij} \leq 1, \quad \forall i \\ & \sum_ {i} x_ {ij} \leq 1, \quad \forall j \\ & x_ {ij} \geq 0, \quad \forall i,j \end{align} \] 注意：约束 \( x_ {ij} \leq 1 \) 可省略，因为其他约束已隐含此条件。 3. 线性规划的特殊性质该线性规划的约束矩阵是全单模矩阵（所有子方阵的行列式为 0 或 ±1）。全单模性保证线性规划的最优解是整数解（即 \( x_ {ij} = 0 \) 或 1），因此松弛后的线性规划最优解即为原整数规划的最优解。这一性质使得我们可以直接使用单纯形法等线性规划算法求解，而无需担心分数解。 4. 求解步骤示例假设有一个二分图： \( U = \{u_ 1, u_ 2\}, V = \{v_ 1, v_ 2, v_ 3\} \) 边权重矩阵 \( w_ {ij} \) 为： \[ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 2 \end{bmatrix} \] 线性规划模型： \[ \begin{align} \max \quad & 3x_ {11} + 2x_ {12} + 4x_ {13} + 1x_ {21} + 5x_ {22} + 2x_ {23} \\ \text{s.t.} \quad & x_ {11} + x_ {12} + x_ {13} \leq 1 \\ & x_ {21} + x_ {22} + x_ {23} \leq 1 \\ & x_ {11} + x_ {21} \leq 1 \\ & x_ {12} + x_ {22} \leq 1 \\ & x_ {13} + x_ {23} \leq 1 \\ & x_ {ij} \geq 0 \end{align} \] 5. 单纯形法求解（简要过程）引入松弛变量 \( s_ 1, s_ 2 \)（对于 \( U \) 的约束）和 \( t_ 1, t_ 2, t_ 3 \)（对于 \( V \) 的约束），构造初始单纯形表。迭代过程：选择最大正系数变量（如 \( x_ {22} \)，权重 5）进入基变量。通过最小比值测试确定离基变量（约束 \( x_ {12} + x_ {22} \leq 1 \) 和 \( x_ {21} + x_ {22} + x_ {23} \leq 1 \) 限制 \( x_ {22} \leq 1 \)）。更新基变量后，目标函数值增加 5。继续选择 \( x_ {13} \)（权重 4）进入基变量，最终得到最优解： \[ x_ {13} = 1, \quad x_ {22} = 1, \quad \text{其他 } x_ {ij} = 0, \quad \text{最优值 } = 4 + 5 = 9. \] 验证：匹配边为 \( (u_ 1, v_ 3) \) 和 \( (u_ 2, v_ 2) \)，权重和 9 为最大值。 6. 一般化与扩展若图不是二分图（如一般图匹配），需使用Edmonds开花算法等专门方法。线性规划方法可扩展至带容量约束的匹配问题（如分配问题中顶点可连接多条边）。通过以上步骤，线性规划有效解决了最大权二分图匹配问题，全单模性保证了整数解的直接获得。