非线性规划中的内点反射牛顿法基础题
题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²
满足约束条件：
x₁² - x₂ ≥ 0
x₁ ≥ 0
x₂ ≥ 0
这是一个具有非线性目标函数和非线性不等式约束的优化问题。我们需要找到满足所有约束条件下使目标函数最小的点。
解题过程
1. 问题分析与转换
首先分析约束条件：
- x₁² - x₂ ≥ 0 （非线性约束）
- x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 （边界约束）
内点反射牛顿法的核心思想是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题，通过障碍函数将约束"内化"到目标函数中，并使用牛顿法求解，同时通过反射机制处理边界约束。
2. 构造障碍函数
我们引入对数障碍函数来处理不等式约束：
B(x, μ) = f(x) - μ[ln(x₁² - x₂) + ln(x₁) + ln(x₂)]
其中μ > 0是障碍参数。当x接近约束边界时，对数项会趋向负无穷，从而惩罚目标函数，确保迭代点保持在可行域内部。
3. 计算梯度和Hessian矩阵
对于障碍函数B(x, μ)，我们需要计算其梯度和Hessian矩阵：
梯度∇B(x, μ) = ∇f(x) - μ∇[ln(x₁² - x₂) + ln(x₁) + ln(x₂)]
其中：
∇f(x) = [4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂)]
障碍函数的梯度项：
∇ln(x₁² - x₂) = [2x₁/(x₁² - x₂), -1/(x₁² - x₂)]
∇ln(x₁) = [1/x₁, 0]
∇ln(x₂) = [0, 1/x₂]
Hessian矩阵∇²B(x, μ) = ∇²f(x) - μ∇²[障碍项]
4. 牛顿方向计算
在每次迭代中，我们求解牛顿方程：
∇²B(x, μ)d = -∇B(x, μ)
得到搜索方向d。但直接使用这个方向可能导致点跑到可行域外部。
5. 反射机制
当搜索方向指向可行域外部时，我们采用反射策略：
- 如果x₁ + d₁ < 0，将d₁反射为-d₁（在x₁=0边界反射）
- 如果x₂ + d₂ < 0，将d₂反射为-d₂（在x₂=0边界反射）
- 对于非线性约束x₁² - x₂ ≥ 0，通过调整步长确保始终满足
6. 算法步骤
步骤1：初始化
- 选择初始内点x⁰ = (1, 0.5)（满足所有约束）
- 设置初始障碍参数μ₀ = 1.0
- 设置衰减因子τ = 0.1，容差ε = 10⁻⁶
步骤2：外层循环（障碍参数更新）
while μ > ε:
步骤3：内层循环（牛顿迭代）
for k = 0 to max_iterations:
a. 计算当前点的梯度∇B(x, μ)和Hessian∇²B(x, μ)
b. 求解牛顿方程得到搜索方向d
c. 应用反射机制调整方向
d. 进行线搜索确定步长α，确保新点仍在可行域内
e. 更新x ← x + αd
f. 检查收敛条件：‖∇B(x, μ)‖ < ε
步骤4：更新障碍参数μ ← τμ
7. 具体迭代示例
从x⁰ = (1, 0.5), μ = 1.0开始：
第一次牛顿迭代：
- ∇f(x) = [4(1-2)³ + 2(1-1), -4(1-1)] = [-4, 0]
- 障碍梯度项：∇[ln(1-0.5) + ln(1) + ln(0.5)] = [2/(0.5) + 1/1, -1/0.5 + 1/0.5] = [5, 0]
- ∇B(x, μ) = [-4, 0] - 1.0 × [5, 0] = [-9, 0]
求解牛顿方向，进行反射调整和线搜索，得到新点。
8. 收敛分析
经过多次迭代，障碍参数μ逐渐减小到10⁻⁶量级，最终收敛到近似最优解：
x* ≈ (1.5, 2.25)，f(x*) ≈ 0.0625
验证约束：1.5² - 2.25 = 0（主动约束），1.5 > 0，2.25 > 0。
9. 算法特点
- 内点法确保迭代点始终在可行域内部
- 反射机制有效处理边界约束
- 牛顿法提供快速局部收敛
- 适用于中等规模的非线性规划问题
这种方法结合了内点法的可行域保持特性和牛顿法的快速收敛性，是解决约束非线性规划问题的有效方法。