k-均值聚类（K-means Clustering）算法的原理与实现步骤
字数 868 2025-10-29 21:04:18

k-均值聚类（K-means Clustering）算法的原理与实现步骤

题目描述
k-均值聚类是一种无监督学习算法，用于将数据集划分为k个互不重叠的簇。其目标是使同一簇内的数据点尽可能相似，不同簇的数据点尽可能不同。算法通过迭代优化簇中心（质心）和簇分配来实现这一目标。例如，给定一组二维数据点，k-均值可将其分为3个簇（k=3），每个簇用质心表示。

解题过程

  1. 初始化质心

    • 随机选择k个数据点作为初始质心（如k=3时随机选3个点）。
    • 注意：初始质心的选择可能影响最终结果，通常采用多次随机初始化或k-means++优化。

  2. 分配数据点到最近质心

    • 计算每个数据点到所有质心的欧氏距离：
      \(d(x_i, \mu_j) = \sqrt{\sum_{d=1}^{D}(x_{id} - \mu_{jd})^2}\)
      其中 \(x_i\) 是数据点，\(\mu_j\) 是第j个质心，D是特征维度。
    • 将每个数据点分配给距离最近的质心所在的簇。

  3. 更新质心位置

    • 重新计算每个簇的质心：取簇内所有数据点的均值作为新质心。
      \(\mu_j^{(new)} = \frac{1}{|C_j|} \sum_{x_i \in C_j} x_i\)
      其中 \(C_j\) 是第j个簇的数据点集合，\(|C_j|\) 是簇的大小。

  4. 迭代收敛判断

    • 重复步骤2和3，直到质心不再显著变化（如质心移动距离小于阈值）或达到最大迭代次数。
    • 收敛性保证：每次迭代都会降低簇内平方和（WCSS），即目标函数 \(J = \sum_{j=1}^{k} \sum_{x_i \in C_j} \|x_i - \mu_j\|^2\)。

  5. 输出结果

    • 最终得到k个簇的质心坐标和每个数据点的簇标签。
    • 局限性：需预先指定k值，对非球形簇或噪声敏感。

关键点

  • 距离度量通常用欧氏距离，但也可替换为其他距离（如曼哈顿距离）。
  • 优化方法：k-means++通过分散初始质心改善收敛速度和稳定性。
  • 应用场景：图像分割、客户分群、异常检测等。
k-均值聚类（K-means Clustering）算法的原理与实现步骤 题目描述 k-均值聚类是一种无监督学习算法，用于将数据集划分为k个互不重叠的簇。其目标是使同一簇内的数据点尽可能相似，不同簇的数据点尽可能不同。算法通过迭代优化簇中心（质心）和簇分配来实现这一目标。例如，给定一组二维数据点，k-均值可将其分为3个簇（k=3），每个簇用质心表示。 解题过程 初始化质心 随机选择k个数据点作为初始质心（如k=3时随机选3个点）。 注意：初始质心的选择可能影响最终结果，通常采用多次随机初始化或k-means++优化。 分配数据点到最近质心 计算每个数据点到所有质心的欧氏距离： \( d(x_ i, \mu_ j) = \sqrt{\sum_ {d=1}^{D}(x_ {id} - \mu_ {jd})^2} \) 其中 \(x_ i\) 是数据点，\(\mu_ j\) 是第j个质心，D是特征维度。 将每个数据点分配给距离最近的质心所在的簇。 更新质心位置 重新计算每个簇的质心：取簇内所有数据点的均值作为新质心。 \( \mu_ j^{(new)} = \frac{1}{|C_ j|} \sum_ {x_ i \in C_ j} x_ i \) 其中 \(C_ j\) 是第j个簇的数据点集合，\(|C_ j|\) 是簇的大小。 迭代收敛判断 重复步骤2和3，直到质心不再显著变化（如质心移动距离小于阈值）或达到最大迭代次数。 收敛性保证：每次迭代都会降低簇内平方和（WCSS），即目标函数 \( J = \sum_ {j=1}^{k} \sum_ {x_ i \in C_ j} \|x_ i - \mu_ j\|^2 \)。 输出结果 最终得到k个簇的质心坐标和每个数据点的簇标签。 局限性：需预先指定k值，对非球形簇或噪声敏感。 关键点 距离度量通常用欧氏距离，但也可替换为其他距离（如曼哈顿距离）。 优化方法：k-means++通过分散初始质心改善收敛速度和稳定性。 应用场景：图像分割、客户分群、异常检测等。