基于潜在狄利克雷分配（LDA）的文档主题生成模型详解 题目描述： 潜在狄利克雷分配（Latent Dirichlet Allocation, LDA）是一种生成式概率模型，用于从文档集合中发现潜在的主题结构。它假设每个文档是由多个主题混合而成，而每个主题则是词语上的概率分布。LDA通过无监督学习推断出文档-主题分布和主题-词语分布，是主题建模领域的经典算法。 解题过程： 模型基本假设 假设存在K个主题，每个主题是词汇表上的一个多项式分布。 每个文档是K个主题的混合，即每个文档有自己的主题分布（多项式分布）。 文档中每个词的生成过程：先从文档的主题分布中采样一个主题，再从该主题的词语分布中采样一个词。 生成过程（贝叶斯网络视角） 对于每个主题k（k=1到K），从狄利克雷分布Dir(β)中采样主题-词语分布φ_ k。 对于每个文档d（d=1到D）： a. 从狄利克雷分布Dir(α)中采样文档-主题分布θ_ d。 b. 对于文档d中的每个词位置n（n=1到N_ d）： i. 从多项式分布Mult(θ_ d)中采样一个主题z_ {d,n}。 ii. 从多项式分布Mult(φ_ {z_ {d,n}})中采样一个词w_ {d,n}。 推断问题 给定观测到的文档集合W，需要推断隐变量：文档-主题分布θ、主题-词语分布φ、每个词的主题分配z。 直接计算后验分布P(z,θ,φ|W,α,β)难以处理，需用近似推断方法。 变分推断求解（早期主流方法） 引入变分分布q(z,θ,φ|γ,ϕ,λ)来近似真实后验，其中γ是文档-主题分布的变分参数，ϕ是词的主题分配的变分参数，λ是主题-词语分布的变分参数。 通过最大化证据下界（ELBO）迭代更新变分参数： a. E步：固定λ，对每个文档d，更新γ_ d和ϕ_ d，使ELBO最大。 b. M步：固定ϕ和γ，更新λ，最大化整个语料的ELBO。 吉布斯采样求解（更常用的方法） 采用马尔可夫链蒙特卡洛方法，直接对主题分配z进行采样。 核心是计算词w被分配到主题k的条件概率： P(z_ i=k|z_ {-i},w) ∝ (n_ {d,k}^{-i} + α_ k) * (n_ {k,w}^{-i} + β_ w) / (n_ k^{-i} + β_ {sum}) 其中n_ {d,k}^{-i}是文档d中除当前词外分配给主题k的词数，n_ {k,w}^{-i}是主题k中除当前词外词w出现的次数，n_ k^{-i}是主题k的总词数（除当前词）。 迭代过程：随机初始化每个词的主题，然后遍历每个词，根据上述条件概率重新采样其主题，直至收敛。 参数估计 吉布斯采样收敛后，用统计值估计φ和θ： φ_ {k,w} = (n_ {k,w} + β_ w) / (n_ k + β_ {sum}) θ_ {d,k} = (n_ {d,k} + α_ k) / (n_ d + α_ {sum}) 超参数选择 α和β通常采用对称先验，可通过经验贝叶斯方法优化。 通过以上步骤，LDA能够自动从文档集中发现有意义的主题，并为新文档分配主题比例。