高斯-切比雪夫求积公式的稳定性分析 题目描述 高斯-切比雪夫求积公式用于计算形如 \( \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的积分，其节点为切比雪夫多项式的根，权重为常数。稳定性分析旨在研究当函数 \( f(x) \) 或计算过程存在微小扰动时，积分结果的敏感程度。具体问题：分析高斯-切比雪夫公式的数值稳定性，包括权重和节点的误差传播对积分结果的影响。 解题过程 回顾公式形式 高斯-切比雪夫求积公式的 \( n \) 点形式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(x_ k), \quad w_ k = \frac{\pi}{n}, \quad x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right). \] 权重 \( w_ k \) 为常数，节点 \( x_ k \) 在 \([ -1,1 ]\) 上非均匀分布。 稳定性定义 数值稳定性指：若节点值 \( x_ k \) 或函数值 \( f(x_ k) \) 存在微小误差 \( \delta x_ k \) 或 \( \delta f_ k \)，积分结果的变化量 \( \delta I \) 应受控。定义绝对条件数 \( \kappa \) 满足： \[ |\delta I| \leq \kappa \cdot \max(|\delta f_ k|, |\delta x_ k|). \] 分析函数值误差的影响 设 \( f(x_ k) \) 的误差为 \( \delta f_ k \)，则积分误差为： \[ \delta I_ f = \sum_ {k=1}^{n} w_ k \delta f_ k. \] 由于 \( w_ k = \pi/n > 0 \)，应用三角不等式： \[ |\delta I_ f| \leq \sum_ {k=1}^{n} |w_ k| \cdot |\delta f_ k| = \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} |\delta f_ k|. \] 若 \( |\delta f_ k| \leq \varepsilon \)，则 \( |\delta I_ f| \leq \pi \varepsilon \)。条件数 \( \kappa_ f = \pi \)，与 \( n \) 无关，表明公式对函数值误差稳定。 分析节点误差的影响 设节点误差为 \( \delta x_ k \)，利用一阶泰勒展开： \[ f(x_ k + \delta x_ k) \approx f(x_ k) + f'(x_ k) \delta x_ k. \] 积分误差为： \[ \delta I_ x \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k f'(x_ k) \delta x_ k. \] 若 \( |\delta x_ k| \leq \eta \)，且 \( |f'(x_ k)| \leq M \)，则： \[ |\delta I_ x| \leq \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} M \eta = \pi M \eta. \] 条件数 \( \kappa_ x = \pi M \)，依赖函数导数的界 \( M \)。若 \( f \) 的导数较大，节点误差可能被放大。 综合稳定性结论 对函数值误差：绝对稳定（条件数为常数 \( \pi \)）。 对节点误差：条件数依赖 \( f'(x) \) 的幅值，若 \( f \) 光滑则稳定，若 \( f \) 振荡剧烈则稳定性下降。 实际计算中，节点 \( x_ k \) 通常由精确表达式计算，误差可忽略；主要误差来源为函数值计算或舍入误差。 与一般高斯公式的对比 一般高斯公式的权重非均匀，可能包含大权重，导致误差放大；而高斯-切比雪夫公式的权重均匀，避免了这一问题，这是其稳定性优势。 总结 高斯-切比雪夫公式的稳定性由权重均匀性保证，对函数值误差不敏感，对节点误差的敏感度取决于函数的光滑性。在实际应用中，若 \( f(x) \) 导数有界，该公式具有优良的数值稳定性。