高斯-勒让德求积公式的收敛性与误差估计

题目描述
高斯-勒让德求积公式是一种在区间 \([-1, 1]\) 上对函数 \(f(x)\) 进行数值积分的经典方法，通过选取特定的节点（勒让德多项式的零点）和权重，使公式具有最高代数精度。本题要求分析该方法的收敛性（即当节点数 \(n \to \infty\) 时，积分值是否收敛于真值），并推导其误差估计表达式。

解题过程

1. 高斯-勒让德公式的回顾
   • 公式形式：

\[ \int_{-1}^1 f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i), \]

 其中 $x_i$ 是 $n$ 次勒让德多项式 $P_n(x)$ 的零点，权重 $w_i = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)]^2}$。  

• 关键性质：公式具有 \(2n-1\) 次代数精度，即对次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式积分结果精确。

2. 收敛性分析
   • 定理：若 \(f(x)\) 在 \([-1, 1]\) 上连续，则高斯-勒让德公式的积分值随 \(n \to \infty\) 收敛到精确积分值。
   • 证明思路：
     • 由威尔斯特拉斯逼近定理，连续函数 \(f(x)\) 可用多项式 \(p_m(x)\) 一致逼近（即 \(\max|f-p_m| < \varepsilon\)）。
     • 选取 \(n\) 足够大（如 \(n > m\)），使得 \(p_m(x)\) 的积分被高斯基准则确计算。
     • 误差分解：

\[ \left| \int_{-1}^1 f - \sum w_i f(x_i) \right| \leq \underbrace{\left| \int_{-1}^1 (f-p_m) \right|}_{\leq 2\varepsilon} + \underbrace{\left| \sum w_i (f(x_i)-p_m(x_i)) \right|}_{\leq \varepsilon \sum w_i = 2\varepsilon}, \]

   因权重和 $\sum w_i = 2$。故总误差 $\leq 4\varepsilon$，收敛性得证。

3. 误差估计表达式
   • 若 \(f(x)\) 是 \(2n\) 次连续可微函数，误差公式为：

\[ E_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \cdot \frac{2^{2n+1} (n!)^4}{(2n+1)[(2n)!]^2}, \quad \xi \in (-1, 1). \]

• 推导要点：
  • 构造插值多项式 \(H(x)\) 使得 \(H(x_i)=f(x_i)\) 且 \(H'(x_i)=f'(x_i)\)（埃尔米特插值）。
  • 利用插值余项公式，积分误差可写为：

\[ E_n(f) = \int_{-1}^1 \frac{f^{(2n)}(\xi(x))}{(2n)!} (x-x_1)^2 \cdots (x-x_n)^2 \, dx. \]

 - 通过勒让德多项式性质化简：$(x-x_1)\cdots(x-x_n) = \frac{P_n(x)}{k_n}$（$k_n$ 为首项系数），结合 $P_n(x)$ 的正交性可得最终形式。

4. 实际应用中的意义
   • 误差公式表明，若 \(f(x)\) 的高阶导数有界，误差以阶 \(\sim \frac{C}{n!}\) 衰减（指数级收敛）。
   • 对于解析函数，高斯求积收敛速度远快于梯形法或辛普森法。

总结
高斯-勒让德公式的收敛性由函数连续性保证，误差估计则依赖于函数光滑性。该分析为选择节点数 \(n\) 提供了理论依据，尤其在处理高精度积分时至关重要。