其中 $ x_i $ 是拉盖尔多项式 $ L_n(x) $ 的根，$ w_i $ 为对应权重。

高斯-拉盖尔求积公式在放射性衰变模型积分中的应用 题目描述 计算放射性衰变过程中剩余原子数的时间积分，其模型为 \( N(t) = N_ 0 e^{-\lambda t} \)，其中 \( N_ 0 \) 是初始原子数，\( \lambda \) 是衰变常数。需要求解积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} N(t) \, dt \)，即总“原子-时间”量。该积分的解析解为 \( I = N_ 0 / \lambda \)，但需用数值方法验证，并分析高斯-拉盖尔求积公式在此类无穷区间积分中的有效性。 解题过程 问题分析 积分区间为 \( [ 0, \infty)\)，被积函数 \( f(t) = N_ 0 e^{-\lambda t} \) 含指数衰减项，适合用高斯-拉盖尔求积公式，因其权重函数为 \( e^{-t} \)（标准形式）。 需通过变量变换将原积分化为标准形式。 变量变换 令 \( x = \lambda t \)，则 \( t = x / \lambda \)，\( dt = dx / \lambda \)，积分变为： \[ I = \frac{N_ 0}{\lambda} \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \, dx. \] 标准高斯-拉盖尔公式针对权重函数 \( e^{-x} \) 和区间 \( [ 0, \infty)\)，其形式为： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i g(x_ i), \] 其中 \( x_ i \) 是拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根，\( w_ i \) 为对应权重。 应用求积公式 本例中 \( g(x) = 1 \)，因此： \[ I \approx \frac{N_ 0}{\lambda} \sum_ {i=1}^{n} w_ i \cdot 1 = \frac{N_ 0}{\lambda} \sum_ {i=1}^{n} w_ i. \] 高斯-拉盖尔权重的和为 \( \sum w_ i = 1 \)（精确积分常数函数 \( g(x)=1 \) 的结果），故数值解为 \( I \approx N_ 0 / \lambda \)，与解析解一致。 一般情况推广 若被积函数为 \( N_ 0 e^{-\lambda t} \cdot h(t) \)（如考虑衰变过程中的附加效应），则需计算： \[ I = \frac{N_ 0}{\lambda} \int_ {0}^{\infty} e^{-x} h\left(\frac{x}{\lambda}\right) dx. \] 此时应用公式： \[ I \approx \frac{N_ 0}{\lambda} \sum_ {i=1}^{n} w_ i h\left(\frac{x_ i}{\lambda}\right). \] 通过增加节点数 \( n \) 可提高精度，尤其当 \( h(t) \) 是多项式时，\( n \) 阶公式可精确积分 \( 2n-1 \) 次多项式。 误差与注意事项 高斯-拉盖尔公式的误差项依赖于 \( g(x) \) 的 \( 2n \) 阶导数。若 \( h(t) \) 光滑，误差随 \( n \) 增大指数衰减。 实际计算需预计算节点 \( x_ i \) 和权重 \( w_ i \)，可通过查表或数值库（如 SciPy）获取。 总结 高斯-拉盖尔公式通过匹配指数衰减权重，高效处理无穷区间积分。本例展示了其如何精确还原解析解，并扩展至更复杂的衰变模型，突出了其在物理模型数值积分中的实用性。