多边形三角剖分的最低得分问题（边权重乘积版本） 题目描述 给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序编号为0, 1, 2, ..., n-1（n >= 3）。每个顶点i有一个权重w[ i ]。将多边形三角剖分（即用n-3条不相交的对角线将多边形分割成n-2个三角形）后，每个三角形的得分定义为该三角形三个顶点权重的乘积。整个三角剖分的总得分是所有三角形得分之和。你的目标是找到一种三角剖分方案，使得总得分最小。 解题过程 问题分析 这是一个凸多边形三角剖分问题，但计分规则与标准版本（基于边权重）不同，是基于顶点权重的乘积。 我们需要将多边形划分为三角形，使得所有三角形顶点权重乘积之和最小。 由于是凸多边形，任意对角线（连接两个不相邻顶点）都不会与多边形的边相交。 定义状态 定义dp[ i][ j ]表示从顶点i到顶点j（按顺时针顺序，包含i和j）所形成的子多边形进行三角剖分后能得到的最小总得分。 注意：子多边形由顶点i, i+1, ..., j组成（共j-i+1个顶点），并且i和j之间有一条边（多边形的原始边）。 初始状态：当子多边形只有两个顶点时（即j-i+1=2），它实际上是一条边，无法形成三角形，得分应为0。当子多边形有三个顶点时（即j-i+1=3），它本身就是一个三角形，得分就是三个顶点权重的乘积。 状态转移方程 对于子多边形i...j，我们选择其中一个顶点k（i < k < j）与顶点i和j形成一个三角形(i, k, j)。 这个三角形将原多边形分成三部分： 三角形(i, k, j)本身，得分为w[ i] * w[ k] * w[ j ]。 子多边形i...k（顶点i, i+1, ..., k）。 子多边形k...j（顶点k, k+1, ..., j）。 因此，总得分 = 三角形得分 + 子多边形i...k的得分 + 子多边形k...j的得分。 我们需要遍历所有可能的k（从i+1到j-1），找到使总得分最小的那个k。 状态转移方程：dp[ i][ j] = min{ dp[ i][ k] + dp[ k][ j] + w[ i] w[ k] w[ j ] }，其中k从i+1到j-1。 计算顺序 由于dp[ i][ j ]依赖于更小的区间（顶点数更少的子多边形），我们需要按照子多边形的顶点数量从小到大计算。 具体来说，先计算所有长度为3的子多边形（三角形），然后长度为4，一直到长度为n（整个多边形）。 最终结果 整个多边形对应的最小总得分存储在dp[ 0][ n-1 ]中。 举例说明 假设有一个四边形（n=4），顶点权重为[ 1, 2, 3, 4 ]。 顶点0,1,2,3按顺时针排列。 有两种三角剖分方式： 连接对角线(0,2)：形成三角形(0,1,2)和(0,2,3)。总得分 = 1 2 3 + 1 3 4 = 6 + 12 = 18。 连接对角线(1,3)：形成三角形(0,1,3)和(1,2,3)。总得分 = 1 2 4 + 2 3 4 = 8 + 24 = 32。 最小得分为18，对应第一种剖分方式。 通过这个循序渐进的讲解，您应该能理解如何用区间动态规划解决这个基于顶点权重的多边形三角剖分问题。