龙贝格积分法的自适应终止条件与精度控制

题目描述
计算定积分 \(I = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\) 的近似值，要求使用龙贝格积分法，并设计自适应终止条件，使得计算结果满足预设精度 \(\varepsilon\)。需详细说明如何通过外推序列判断收敛性，并给出步长加倍过程中的误差估计方法。

解题过程

1. 龙贝格积分法基础
   • 从复合梯形公式出发：设将区间 \([a, b]\) 等分为 \(2^k\) 个子区间，步长 \(h_k = \frac{b-a}{2^k}\)，梯形公式近似值为 \(T_0^{(k)}\)。
   • 递推关系：利用梯形公式的步长加倍规律，新节点处的函数值可复用旧节点值：

\[ T_0^{(k)} = \frac{1}{2} T_0^{(k-1)} + h_k \sum_{i=1}^{2^{k-1}} f\left(a + (2i-1)h_k\right) \]

• 外推加速：通过理查德森外推构造高阶近似序列 \(T_m^{(k)}\)，其中 \(m\) 为外推次数：

\[ T_m^{(k)} = \frac{4^m T_{m-1}^{(k+1)} - T_{m-1}^{(k)}}{4^m - 1} \]

 每外推一次，误差阶提高 $O(h^{2m+2})$。

2. 自适应终止条件设计
   • 收敛判断：计算相邻外推结果的相对误差。对于第 \(k\) 次划分，取最高阶外推值 \(T_k^{(0)}\) 与 \(T_{k-1}^{(1)}\) 的差作为误差估计：

\[ E_k = \left| T_k^{(0)} - T_{k-1}^{(1)} \right| \]

• 精度控制：若 \(E_k < \varepsilon \cdot \max\left(1, |T_k^{(0)}|\right)\)（避免除零且适应小量级积分值），则终止计算并输出 \(T_k^{(0)}\)。
• 防止无限循环：设置最大划分次数 \(k_{\text{max}}\)（如 \(k=10\) 对应 \(2^{10}=1024\) 个子区间），超限则报错。

3. 计算步骤示例

   • 初始化：计算 \(T_0^{(0)} = \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)]\)。
   • 迭代循环（\(k=1,2,\dots\)）：
     1. 步长加倍，计算新节点函数值，按递推关系求 \(T_0^{(k)}\)。
     2. 外推计算 \(T_m^{(k-m)}\)（\(m=1\) 到 \(k\)），填充龙贝格表对角线。
     3. 检查终止条件：若 \(E_k < \varepsilon\)，输出 \(T_k^{(0)}\)；否则继续加倍步长。

4. 误差分析要点

   • 外推序列的误差项与函数高阶导数相关，若 \(f(x)\) 光滑性差，收敛可能变慢。
   • 实际误差可能略大于 \(E_k\)，但外推法通常保守，\(E_k\) 是可靠的上界估计。

总结
龙贝格积分法通过逐步加密网格和理查德森外推，高效提升精度。自适应终止条件以外推序列的差值作为误差估计，兼顾计算效率与可靠性。