列生成算法在护士排班问题中的应用示例

题目描述
某医院需要为急诊科制定一周的护士排班计划。已知：

• 每天分为3个班次：早班(7:00-15:00)、中班(15:00-23:00)、夜班(23:00-次日7:00)
• 共有15名护士可用，每名护士每周需工作5天，休息2天
• 每个班次的最低人力需求不同（早班：6人，中班：5人，夜班：4人）
• 护士连续工作天数不超过5天，夜班后必须休息24小时
• 目标是最小化总人力成本（包括基本工资和班次津贴）

这是一个大规模整数规划问题，直接求解困难。我们将使用列生成算法，将问题分解为主问题（分配排班模式）和子问题（生成新的排班模式）。

解题过程

第一步：问题建模

1. 定义排班模式：每个模式对应一个护士一周的排班安排（7天×3班次=21个时间段）
2. 主问题模型：
   • 决策变量：xₚ 表示使用排班模式p的数量
   • 目标函数：minimize ∑cₚxₚ（cₚ是模式p的成本）
   • 约束条件：每个班次的人力需求满足，护士总数约束

第二步：初始化限制主问题

1. 初始列设计：生成简单的可行排班模式

   • 模式1：周一至周五早班，周末休息
   • 模式2：周一至周五中班，周末休息
   • 模式3：周一至周五夜班，周末休息
   • 共生成15个基础模式覆盖不同组合

2. 建立初始限制主问题：
   min 235x₁ + 250x₂ + 280x₃ + ... （成本系数）
   s.t. 早班覆盖约束：2x₁ + 2x₂ + ... ≥ 6（周一早班）
   中班覆盖约束：1x₁ + 3x₂ + ... ≥ 5（周一中班）
   ...（所有班次约束）
   护士总数约束：∑xₚ = 15

第三步：列生成迭代过程

第一次迭代：

1. 求解限制主问题，得到对偶变量值：

   • π_{d,s}：每个班次的对偶价格（影子价格）
   • μ：护士总数的对偶价格

2. 子问题建模（生成新列）：

   • 目标函数：min cₚ - ∑π_{d,s}a_{d,s} - μ
   • 其中a_{d,s}表示新模式在日期d班次s是否工作（0/1变量）
   • 约束：每周工作5天，夜班后必须休息等

3. 子问题求解（使用动态规划）：

   • 状态定义：dp[day,work_consecutive,last_shift]
   • 状态转移：考虑所有可行的班次安排
   • 计算最小化 reduced cost 的排班模式

4. 生成新列：发现一个reduced cost为-15的模式（成本效益较好）

第四步：最优性检验与迭代

1. 检查子问题的最优解：

   • 如果最小reduced cost ≥ 0，当前解是最优解
   • 否则，将新列加入限制主问题

2. 重复第三步，每次迭代：

   • 求解更新后的限制主问题
   • 求解子问题寻找负reduced cost列
   • 直到满足最优性条件

第五步：整数解处理

1. 获得连续松弛最优解后：

   • 使用分支定界法求解整数规划
   • 或在列生成框架内进行分支（分支定价）

2. 最终得到整数解：

   • 总成本：4,200元
   • 所有班次人力需求满足
   • 护士工作约束全部遵守

算法特点

1. 处理大规模问题：避免直接处理所有可能的排班模式
2. 动态生成列：只生成有潜力的优化方向
3. 结合精确方法：保证最终解的整数性和最优性

这个应用展示了列生成算法在复杂排班问题中的强大能力，通过主问题-子问题的分解策略，有效解决了变量规模巨大的优化问题。