好的，我们接下来讲解 LeetCode 第 55 题：跳跃游戏（Jump Game）。

题目描述

给定一个非负整数数组 nums，你最初位于数组的 第一个下标。数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的 最大长度。

你的目标是判断你是否能够到达最后一个下标。

示例 1：

输入：nums = [2,3,1,1,4]
输出：true
解释：可以先跳 1 步到下标 1，然后再跳 3 步到达最后一个下标。

示例 2：

输入：nums = [3,2,1,0,4]
输出：false
解释：无论怎样，总会到达下标 3 的位置，但该位置的最大跳跃长度是 0，所以永远无法到达最后一个下标。

解题思路：贪心算法（Greedy）

这个问题最直观的解法是使用 贪心策略。我们不需要精确地计算每一步跳到哪里，而是关注 当前能到达的最远位置。

核心思想

• 维护一个变量 max_reach，表示 从起点出发，当前能到达的最远下标。
• 遍历数组中的每一个位置 i：
  • 如果 i 已经超过了 max_reach，说明这个位置根本到不了，更别说跳到终点了，直接返回 false。
  • 否则，更新 max_reach 为 max(max_reach, i + nums[i])。
  • 如果 max_reach 已经大于等于最后一个下标，说明可以到达终点，提前返回 true。

为什么这样可行？

因为对于每一个能到达的位置 i，它都可以帮助我们将跳跃范围扩展到 i + nums[i]。我们只需要一直维护这个最远距离，并确保在遍历过程中不会出现“断档”（即当前位置 i 比最远距离还远）即可。

逐步推理示例

示例 1：nums = [2, 3, 1, 1, 4]

• 初始状态：max_reach = 0（起点下标 0）。
• 遍历：
  • i = 0：0 <= 0（能到达），更新 max_reach = max(0, 0 + 2) = 2。
  • i = 1：1 <= 2（能到达），更新 max_reach = max(2, 1 + 3) = 4。此时 4 >= 4（终点），返回 true。

示例 2：nums = [3, 2, 1, 0, 4]

• 初始状态：max_reach = 0。
• 遍历：
  • i = 0：0 <= 0，更新 max_reach = max(0, 0 + 3) = 3。
  • i = 1：1 <= 3，更新 max_reach = max(3, 1 + 2) = 3。
  • i = 2：2 <= 3，更新 max_reach = max(3, 2 + 1) = 3。
  • i = 3：3 <= 3，更新 max_reach = max(3, 3 + 0) = 3。
  • i = 4：4 > 3（当前位置已经超过能到达的最远距离），返回 false。

代码实现（Python）

def canJump(nums):
    n = len(nums)
    max_reach = 0  # 当前能到达的最远下标
    
    for i in range(n):
        # 如果当前位置已经超过能到达的最远距离，则无法继续
        if i > max_reach:
            return False
        # 更新能到达的最远距离
        max_reach = max(max_reach, i + nums[i])
        # 如果已经能到达终点，提前结束
        if max_reach >= n - 1:
            return True
    
    return True  # 如果遍历完成，说明能到达终点

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，只需遍历一次数组。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数级别的额外空间。

总结

这道题是一个典型的 贪心算法 应用，关键在于理解：我们只需维护当前能到达的最远位置，而不需要模拟每一步的跳跃。这种方法既高效又直观，能够快速判断是否可达终点。